Asumiendo que los pasos son $+1/-1$ con un $50/50$ probabilidad. ¿Cuál es el número de pasos esperado para alcanzar $10, 100$ o $K$ ?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Estudiemos el tiempo esperado que tarda el paseo aleatorio simétrico en alcanzar $+1$ suponiendo que comience en $0$ . Sea $S$ denotan el número de pasos que damos hasta llegar a $+1$ es decir $S_1 = \min\{n > 0; X_n = +1\}$ donde $X_n$ es su paseo aleatorio simétrico. Tenga en cuenta que $S_1$ es un número impar.
$$P(S_1 = 1) = \frac{1}{2}\\ P(S_1 = 3) = \frac{1}{2^3} \\ P(S_1 = 5) = 2 \frac{1}{2^5}\\ P(S_1 = 2n+1) = C_n \frac{1}{2^{2n+1}}$$
donde $C_n$ es el número de caminos no positivos de longitud $2n$ comenzar en $0$ y termina en $0$ viene dada por $C_n = \frac{1}{n+1} {2n\choose n}$ véase https://en.wikipedia.org/wiki/Catalan_number
Ahora calculamos $$E[S_1] = \sum_{k=0}^\infty (2k + 1) C_k \frac{1}{2^{2k+1}}$$
Ahora asintóticamente, $$C_n \sim \frac{4^n}{n^{3/2}\sqrt{\pi}}$$
por lo tanto $$ C_k \frac{1}{2^{2k+1}} \sim \frac{1}{2 k^{3/2}\sqrt{\pi}} $$
y por lo tanto
$$ (2k + 1) C_k \frac{1}{2^{2k+1}}\sim \frac{2k+1}{2 k^{3/2}\sqrt{\pi}} > \frac{1}{k}$$
por lo que la suma diverge y $E[S_1] = \infty$ . Ahora para $S_{10} = \min\{n > 0, X_n = 10\}$ tenemos $S_{10} \geq S_1$ por lo tanto $$E[S_{10}]\geq E[S_1] = \infty$$
user54230
Puntos
11
Sea $x$ sea el número esperado de pasos para pasar de $0$ a $1$ . Entonces, la mitad de las veces llegarás en un solo paso, y la otra mitad de las veces darás un paso y luego tendrás que recorrer el doble de distancia (porque ahora tienes que ir de $-1$ a $1$ ). Por lo tanto
$$ x = \frac{1}{2}(1) + \frac{1}{2}(1 + 2x) $$
que se simplifica en
$$ x = x + 1 $$
lo que significa que
$$ x = \infty $$
Así que si vas de $0$ a $1$ en la esperanza da infinitos pasos, entonces pasar de $0$ a cualquier otro número también lleva infinitos pasos.
