Ni siquiera le encuentro sentido a esta pregunta. ¿No es como preguntar: "Demuestra que 3 es divisible por 3"? ¿No es cualquier número divisible por sí mismo? ¿Es esto todo lo que hay en esta pregunta? Parece que tiene que haber algo más.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Oli
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Podemos usar la inducción. Prefiero demostrar que el número que "consiste en" $3^n$ $9$ es divisible por $9\cdot 3^n$ .
El número cuya representación decimal está formada por $3^n$ consecutivo $9$ 's es $10^{3^n}-1$ .
Para el paso de inducción, observe que $10^{3^{k+1}}-1=x^3-1$ donde $x=10^{3^k}$ . Estos factores como $(x-1)(x^2+x+1)$ . Por el supuesto de inducción, $x-1$ es divisible por $9\cdot 3^k$ . También, $3$ divide $x^2+x+1$ Así que $9\cdot 3^{k+1}$ divide $x^3-1$ .
Observación: O bien podríamos demostrar que el número cuya representación decimal consiste en $3^{k+1}$ consecutivo $1$ es el número con $3^k$ consecutivo $1$ 's, veces un número de la forma $1000\cdots 01000\cdots 01$ . El segundo número es divisible por $3$ mediante la prueba de divisibilidad habitual.
Jherico
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Farkhod Gaziev
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6
Generalización :
Si modulo orden ord $_{p^k}a=d\implies a^d\equiv1\pmod{p^k},a^d=1+p^k\cdot c$ para algún número entero $c$ y $p$ es cualquier número entero
$\implies a^{pd}=(a^d)^p=(1+p^k\cdot c)^p\equiv1\pmod{p^{k+1}}$
Aquí $a=10,p=3,k=2,d=1$
Así que por inducción matemática, $10^n\equiv1\pmod{3^{n+1}}$ para números enteros $n\ge1$
