La generalización de la cuádrupla grupo $\Bbb H_n$

Question

Deje $\omega$ $2^n$- ésima raíz primitiva de la unidad. Vamos $$R=\begin{pmatrix}\omega & 0\\0&\omega^{-1}\end{pmatrix}$$ and $$S=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$$

Definir el subgrupo $\langle S,R\rangle =\Bbb H_n$ a ser la generalización de la cuádrupla grupo, en $\rm{SL}(2,\Bbb C)$. Tengo que encontrar el orden y la lista de todos los elementos de a $\Bbb H_n$.

Observar que:

$$R^{2^n}=1$$ $$S^2=-1$$

$$SR=R^{-1}S$$

$$S^{-1}R=R^{-1}S^{-1}$$

Podemos poner los dos últimos como $SRSR=RSRS=-1$. Creo que esto es suficiente para encontrar el orden y la lista de los elementos. De hecho, dado cualquier cadena, podemos obtener todas las $S$ a la derecha de la cadena y todos los $R$, en consecuencia, a la izquierda, usando el $3^{\rm rd}$ $4^{\rm th}$ relaciones, terminando con algo de la forma $$R^jS^i$$

CORREGIDO Ahora, desde $\omega$ es una primitiva $2^n$-ésima raíz de la unidad, se puede dejar $j$ $1\leq j\leq 2^n$ para obtener todos los posibles potencias $R^j$$j\in \Bbb Z$. Por otro lado, ya $S^2=-1,S^3=-S,S^4=1$, e $R^{2^{n-1}}=-1,R^{2^n}=1$, debemos restringir $i$$0,1$. Por lo tanto el orden es $2\times 2^n=2^{n+1}$.

NOTA Las relaciones de arriba se ven bastante similares a los de $D_n$; es decir, para $R$ una rotación de $2\pi /n$ radianes y $S$ una reflexión, hemos $R^n=1$, $S^2=1$, $SRS=R^{-1}$ y también se $D_n=\langle R,S\rangle $. Cualquier comentario sobre esto?

Answer 1

Sí. Lo tienes a la derecha. Todos los elementos de este grupo son de la forma $$ \left(\begin{array}{cc}\omega^j&0\\0&\omega^{-j}\end{array}\right)\qquad\text{o}\qquad \left(\begin{array}{cc}0&-\omega^j\\\omega^{-j}&0\end{array}\right), $$ con $0\le j<2^n$.

Una curiosa propiedad de estos grupos es que son el único no-cíclico $p$-grupos con un punto fijo-libre de representación (es decir, un grupo de matrices tales que el elemento neutro es el único que tiene un autovalor). En consecuencia, juegan un papel en la Zassenhaus clasificación de punto fijo-libre de grupos finitos y cerca de los campos.

Answer 2

Este grupo puede ser definido "puramente en el grupo de teoría de los términos":

$$ R^{2^n}=1, \ R^{2^{n-1}} = S^2, \ S^{-1}RS=R^{-1} $$ ($S^{-1}R=R^{-1}S^{-1}$ es innecesario). Este grupo se describe en W. Burnside, la Teoría de grupos finitos de orden, secc.105, Teorema VI.