Progresiones aritméticas dentro de conjuntos polinómicos

Question

Hay como máximo 3 cuadrados perfectos en la progresión aritmética (Fermat, Euler). En [1] se demostró que si $n>2$ no existen progresiones aritméticas de tres términos formadas por potencias enésimas.

Toma un no lineal polinomio $p(x)$ con coeficientes enteros y considerar el conjunto de polinomios $ A_p = p(\mathbb{N}) $ . Sea $f(A)$ es la longitud máxima sobre todas las progresiones aritméticas cuyos elementos están en $A$ . No es difícil demostrar, reduciéndolo al caso de cuadrados perfectos, que si la $\deg(p)=2$ entonces $f(A_p)<4$ .

Pregunta 1 : ¿Es cierto que $f(A_p)$ es siempre finito si $\deg(p) >1$ ?

Está claro que no hay progresiones aritméticas infinitas dentro de conjuntos polinómicos, pero no veo cómo excluir la posibilidad de tener AP arbitrariamente grandes.

Pregunta 2 : ¿Existe un límite uniforme para $f(A_p)$ sobre todos los polinomios $p(x)$ con $\deg(p)=k$ ?

Por ejemplo, ¿podemos encontrar $10$ términos en progresión aritmética cuyos elementos pertenecen a algún conjunto polinómico $A_p$ con $\deg(p)=3$ ?

[1] H. Darmon y L. Merel, Winding quotients and some variants of Fermat's Last Theorem, J. Reine Angew. Math. 490 (1997), 81-100.

Answer 1

[Editado para dar una conexión directa con Caporaso-Harris-Mazur a través de la idea de Kevin Buzzard].

Tales resultados son probablemente ciertos, pero están fuera del alcance de las técnicas actuales. Para cada $p$ o $k$ y cada $n$ (decir $n>k$ ), el $n$ -del tipo deseado están parametrizadas por puntos no triviales en alguna variedad algebraica, llamémosla $V_n$ de dimensión fija: dimensión $2$ si $p$ es fijo (suponiendo que no sea de la forma $a(x-x_0)^k+b$ en cuyo caso volvemos a Darmon-Merel), y grado sobre $k$ si $p$ puede variar entre todos los polinomios de grado $k$ . En cada caso tenemos para cada $n$ dos mapas $V_n \rightarrow V_{n-1}$ de grado $k$ que olvide el primer o último término de la progresión; y $V_n$ debe ser de tipo general para $n$ lo suficientemente grande. Ahora estamos en un escenario similar al de esta pregunta reciente de Mathoverflow (#73346), y doy más o menos la misma respuesta que Lo hice para esa pregunta la afirmación debería deducirse de las conjeturas Bombieri-Lang más algún trabajo adicional posiblemente no trivial, como en

L.Caporaso, J.Harris y B.Mazur: Uniformidad de puntos racionales, J. Amer. Math. Soc. 10 #1 (1997), 1-45

pero (excluyendo algunos casos muy especiales que no parecen relevantes aquí) no tenemos técnicas para probar tales resultados incondicionalmente en variedades de dimensión mayor que 1.

EDITAR De hecho, se trata de un caso especial de Caporaso-Harris-Mazur, adaptando la observación de Kevin Buzzard en su comentario a la pregunta original: escribir las ecuaciones como $f(x_m)=m$ $(m=1,2,\ldots,n)$ para algún grado $k$ polinomio $f$ (obtenido de $p$ mediante traslación y escalado adecuados), y considerar sólo aquellos $m$ en ese rango que son de la forma (digamos) $y^5$ o $y^5+1$ . Por el teorema de Mason (polinomio ABC) o bien $f$ o $f-1$ tiene al menos dos ceros cuyo orden no es múltiplo de $5$ por lo que $f(x) = y^5$ o $f(x)=y^5+1$ define una curva de género al menos $2$ . Pero el género es claramente $O(k)$ para cualquier polinomio $f$ de grado $k$ . Por tanto, si el número de puntos racionales de una curva de este tipo tiene un límite uniforme, también lo tiene la longitud de una progresión aritmética de valores de un polinomio de grado limitado.

Ahora que lo pienso, la reducción a C-H-M también podría obtenerse más directamente de la curva $p(x')-p(x)=d$ (para $k>3$ ), o $p(x''')-p(x'')=p(x'')-p(x')=p(x')-p(x)=d$ (para cubrir $k=2$ y $k=3$ también), donde $d$ es algún múltiplo de la diferencia común de la progresión aritmética.

Answer 2

¿No te dice la interpolación de Lagrange que puedes encajar $n+1$ números (aunque $n$ están en progresión aritmética) a un polinomio no lineal de grado $n$ ? y si la diferencia común es divisible por los números correctos, dicho polinomio tendrá coeficientes enteros?

Answer 3

Para un caso muy particular, cuando el grado del polinomio es 3 y la progresión aritmética tiene razón no congruente a 3, entonces el polinomio no puede tener una progresión aritmética con más de 4 elementos. Puedo enviarte la prueba si la quieres.

Answer 4

Creo que tengo una prueba, dada por un amigo mío. Voy a publicar la prueba cuando el grado es 3, pero es fácil hacer una generalización.

Supongamos que $p(x)=ax^3+bx^2+cx$ y para todos $i\in\{0,1,2,3\}$ tenemos $p(a_i)=ir$ . Considere la ecuación $$p(x)-ir=0 \iff bx^2 + cx + (ax^3-ir)=0 \iff x=\frac1{2b}\left(-c \pm \sqrt{c^2-4b(ax^3-ir)}\right),$$ si calculamos la derivada para $x$ que tenemos: $$1=\frac1{4b}\frac{-12b\cdot ax^2}{\sqrt{c^2-4b(ax^3-ir)}} \iff \sqrt{c^2-4b(ax^3-ir)}=-3ax^2,$$ por lo que en la ecuación $x=\frac1{2b}\left(-c \pm\sqrt{c^2-4b(ax^3-ir)}\right)$ tenemos $x=\frac1{2b}(-3ax^2)$ .

Cada uno de los $a_i$ 's no igual a cero debe satisfacer la última ecuación, ya que es un grado $2$ polinomio sólo tenemos, como máximo, $2$ soluciones, por lo que una progresión aritmética debe tener una longitud máxima igual a $3$ .

El caso general sigue más o menos de esta manera, utilizamos el $2$ -grado, y tomar la derivada para $x$ lo que nos dará una ecuación polinómica de $n-1$ grado.

Lo siento, pero no sé escribir LATEX... Por favor, dígame si es correcto.