Existencia de la diferencial de una función multivariable

Question

Estoy tratando de entender el concepto de diferencial de funciones multivariables con lo cual tengo la siguiente función:

$$f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{2x^2-y^2}{x^2+2y^2} & (x,y) \ne (0,0) \\ 5 & (x,y) = (0,0) \end{array}\right. $$

Lo que he hecho es, para encontrar las derivadas parciales $\frac{\partial f}{\partial{x}}$ y $\frac{\partial f}{\partial{y}}$ de la función para $(x,y) \ne (0.0)$ entonces, encontrar los límites alternados $\lim_{x\to0}{(\lim_{y \to 0}{(\frac{2x^2-y^2}{x^2+2y^2})})}$ y $\lim_{y\to0}{(\lim_{x \to 0}{(\frac{2x^2-y^2}{x^2+2y^2})})}$ y una vez que existen, compararlas y si son iguales entonces la función es diferenciable en el punto $(0,0)$ ?

¿Sería suficiente para demostrar que la función es diferenciable en el punto? ¿Qué me falta?

Answer 1

La función no es continua en el origen y, por tanto, no es diferenciable en él. La primera vez que vi esto fue aplicando el cambio de variables $$ (x,y)\mapsto \left(r\cos \theta,\frac{r}{\sqrt{2}}\sin\theta\right) $$ Entonces su límite se convierte en $$ \lim_{r\to 0}\frac{2r^2\cos\theta-\frac{r^2}{2}\sin^2\theta}{r^2}\\ =2\cos\theta-\frac{1}{2}\sin^2\theta $$ al reducir los radios mayor y menor de las elipses a $0$ , que no es independiente de $\theta$ como se requiere para la continuidad.

Sin embargo, si esto le incomoda, puede que le resulte más fácil tomar $y=x$ y encontrar el límite en $0$ es $1/3$ en cambio, si $y=x^2$ el límite es $2$ .