Líneas de corriente de cálculo de dinámica de fluidos

Question

Tengo una pregunta en la que tengo que calcular las líneas de corriente dado el flujo de fluido $\vec{u} = (y,x)$ . Debo mostrar las líneas de corriente son $x^2 -y^2 = \;$ const. Empiezo escribiendo algunas declaraciones diferenciales:

$\frac{dx}{dt} = y \; \; \; \;$ así como $\; \; \; \; \frac{dy}{dt} = x$

Luego aíslo para $dt$ :

$\rightarrow dt = \frac{dx}{y} \; \; \; \;$ así como $\; \; \; \; \rightarrow dt = \frac{dy}{x}$

Entonces simplemente elimino $dt$ en conjunto sustituyendo una de las ecuaciones en la otra y obteniendo una EDO de primer orden separable simple:

$\rightarrow x\:dx = y \:dy$

que a la larga conduce a:

$\rightarrow x^2 - y^2 =\;$ Const

como se requería en el problema, y estoy satisfecho con mi respuesta final, sin embargo no estoy seguro de si mi movimiento de eliminar $dt$ mediante sustitución es válida. Si no es así, que alguien me explique por qué. Gracias por su tiempo.

Answer 1

Pues bien, manipulando diferenciales como $dt$ como si estuvieran sujetos a los axiomas de campo de $\Bbb R$ o $\Bbb C$ siempre es un poco arriesgado, ya que no son números en sí . Sin embargo, una derivación rigurosa de la ecuación

$x^2 - y^2 = \text{Const} \tag 1$

suponiendo que

$\dfrac{dx}{dt} \ne 0, \tag 2$

utilizando la relación

$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}; \tag 3$

con las ecuaciones dadas

$\dfrac{dx}{dt} = y, \tag 4$

$\dfrac{dy}{dt} = x, \tag 5$

podemos (suponiendo por el momento que $dx/dt \ne 0$ es decir, que $y \ne 0$ ) escriba (3) como

$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x}{y}; \tag 6$

entonces

$y \dfrac{dy}{dx} = x, \tag 7$

por lo que podemos integrar para encontrar

$\dfrac{1}{2}y^2 = \displaystyle \int y \; dy = \int y\dfrac{dy}{dx} \; dx = \int x \; dx = \dfrac{1}{2}x^2 + c, \tag 8$

o

$x^2 - y^2 = C = -2c. \tag 9$

Si queremos resolver en una región en la que $dx/dt = y = 0$ (3) (siempre y cuando $dy/dt = x \ne 0)$ y utilizar

$\dfrac{dx}{dy} = \dfrac{dx/dt}{dy/dt}, \tag{10}$

que conduce a

$\dfrac{dx}{dy} = \dfrac{y}{x}, \tag{11}$

que da el mismo resultado.

Answer 2

Lo que estás haciendo aquí, es un abuso de la notación, pero resulta que funciona. Es similar a multiplicar por $dx$ y otras técnicas se utilizan a menudo para resolver odas separables.

Si quieres ser más riguroso matemáticamente puedes decir,

$$\frac{dx}{dt} \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}$$

Por la regla de la cadena. Entonces,

$$y \frac{dy}{dx}=x$$

Una oda separable. Eso se puede resolver, más rigurosamente, integrando ambos lados con respecto a $x$ y utilizando la regla de la cadena a la inversa.

$$\int y \frac{dy}{dx} dx= \int x dx$$

$$\frac{y^2}{2}=\frac{x^2}{2}+C_1$$