Sea $K$ cualquier campo y $K[X_1,...X_n]$ el anillo de polinomios en $X_1,...X_n$ con coeficientes en $K$ . Me pregunto si $K$ es un subconjunto de $K[X_1,...X_n]$ . Creo que $K\subset{K[X_1]}$ ya que cada escalar $a\in{K}$ puede asociarse al polinomio constante $c(X)=a$ pero mi intuición me dice que no se sostiene cuando hay $n$ indetermina $X_1,...X_n$ cualquier ayuda es muy apreciada.
Respuesta
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Si $S$ es un conjunto (por ejemplo $S=\{X_1,\ldots,X_n\}$ ) y $A$ un anillo, el anillo polinómico $A[S]$ (escrito más habitualmente $A[X_1,\ldots,X_n]$ si $S=\{X_1,\ldots,X_n\}$ ) puede definirse como un anillo $B$ junto con un homomorfismo de anillo $\iota\colon A\to B$ así como un mapa $i\colon S\to B$ tal que para cualquier otro anillo $C$ y el homomorfismo anular $\phi\colon A\to C$ y mapa $f\colon S\to C$ existe un único homomorfismo de anillo $h\colon B\to C$ con $h\circ \iota=\phi$ y $h\circ i=f$ .
Como es habitual con los objetos universales, esta definición sólo es hasta isomorfismo canónico y entre las diversas opciones isomórficas no hay que preferir ninguna. Sobre todo, porque $\iota$ resulta ser necesariamente una incrustación, es común simplemente identificar $A$ con $\iota(A)$ y por lo tanto considerar $A$ un subring de $A[X_1,\ldots,X_n]$ . (Igualmente, $i$ resulta ser inyectiva y por lo tanto comúnmente considere $S$ un subconjunto de $A[X_1,\ldots,X_n]$ ).
