¿Por qué es importante esta desigualdad? $(1+p)^n\geq 1+np$

Question

Estoy leyendo el artículo de Courant ¿Qué son las matemáticas?

Al principio, está mostrando algunas pruebas, hay una prueba sobre Una importante igualdad y esta importante igualdad es:

$$(1+p)^n\geq 1+np$$

El autor del libro expone la prueba pero no dice por qué es importante la desigualdad, yo tenía la sensación de que esta importancia de la desigualdad es por estabilizar la $\geq$ relación en $\mathbb{N}$ ¿es esta su importancia? Si no es así, ¿cuál es?

Answer 1

Suele llamarse La desigualdad de Bernoulli . Aparece con frecuencia en los concursos de matemáticas. Esta desigualdad es importante porque con ella se pueden demostrar muchas otras desigualdades. Aquí está la tesis de licenciatura de alguna persona donde se menciona entre otros; en particular, la referencia [60; Zhu H.] parece ofrecer alguna explicación con aplicaciones, pero no he podido encontrar una versión en línea.

Answer 2

Un lugar en el que es importante en la aproximación. Cuando $np \ll 1, (1+p)^n$ es mayor que, pero cercana a, $1+np$ ya que los términos posteriores son de orden $(np)^2$ y superiores. Otra es demostrar las desigualdades. $1+np$ es mucho más simple y fácil de trabajar que $(1+p)^n$ . Si no es tan pequeño como para que su propuesta de desigualdad fracase, a menudo le lleva a algún lugar útil.

Answer 3

Aparece en todo tipo de lugares sorprendentes. Viene del teorema del binomio: $$(1+p)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}p^k$$ De lo que se puede deducir fácilmente que para cualquier elección de $m\leq n$ , $$(1+p)^n\geq \sum_{k=0}^m \binom{n}{k}p^k$$

Donde en este caso estamos tomando $m=1$ .

Sólo para dar un ejemplo, aquí hay una prueba rápida de que $\lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{p}=1$ para $p>1$ . Sea $x_n=\sqrt[n]{p}-1$ para que $\sqrt[n]{p}=x_n+1$ . Entonces $p=(x_n+1)^n$ y podemos utilizar la desigualdad para obtener $$ p=(x_n+1)^n\geq nx_n+1 \\ \frac{p -1}{n}\geq x_n>0 $$

Y así $x_n\rightarrow 0$ y $\sqrt[n]{p}=1-x_n\rightarrow1$ .

Simplemente aparece en lugares sorprendentes.

Answer 4

Se puede utilizar (como se muestra en "Qué son las matemáticas") para demostrar que $n^{1/n} \to 1$ como $n \to \infty$ para los enteros $n$ comenzando con $(1+1/\sqrt{n})^n$ . Esto se ha discutido aquí (por mí, naturalmente), así que dejaré los detalles para el lector.

También se puede utilizar para demostrar la desigualdad de la media aritmética-geométrica para el caso en que $n-1$ de la $n$ son los mismos. Esto, a su vez, puede utilizarse para demostrar que $\lim_{n \to \infty} (1+1/n)^n$ existe (para los enteros $n$ ).