Limitación de la continuidad en dimensión superior

Question

Así que estudié que cualquier función continua $f:[a, b]\to \mathbb{R}$ entonces f está acotada, ¿es esto generalmente cierto para funciones de mayor dimensión, digamos $f:[a, b] \times[a, b]\to \mathbb{R}$ ?

Answer 1

Claro porque el dominio de $f$ es compacto y $f$ es continua. Esto significa que $|\cdot|\circ f:[0,1]\times[0,1]\to \mathbb{R}$ es continua.

Toda función continua mapea conjuntos compactos a conjuntos compactos, por lo que

$(|\cdot |\circ f)([0,1]\times[0,1])\subseteq \mathbb{R}$ es compacto

pero cada conjunto compacto de $\mathbb{R}$ está cerrado y limitado, por lo que

$|f(x,y)|$ está limitado en $\mathbb{R}$ .