Demostrar que todo polinomio en $F[X]$ es resoluble por radicales

Question

Estoy tratando de hacer la siguiente pregunta:

Sea $F$ sea un campo de característica cero, y $p$ un número primo. Supongamos que $F$ tiene la propiedad de que todo polinomio irreducible en $F$ tienen un grado igual a una potencia de $p$ . Demostrar que todo polinomio en $F[X]$ es resoluble por radicales sobre $F$ .

Mi intento de solución fue tratar de demostrar que, dado $f$ un polinomio irreducible en $F[X]$ y $L$ un campo salpicado de $f$ en $F$ tenemos $[L:F]=p^k$ de modo que $Gal(L/F)$ es un p-grupo, por lo que es solucionable, pero parece que no va a funcionar.

¿Alguna pista?

Answer 1

Tu idea funciona con una pequeña modificación. Sólo ten en cuenta que por el teorema del elemento primitivo, el campo de división $L$ de cualquier polinomio $f$ es generado por un único elemento $\alpha$ en $F$ y así $[L:F]$ es el grado del polinomio mínimo de $\alpha$ . Así $[L:F]$ es una potencia de $p$ por lo que el grupo de Galois es soluble.