K.S. Brown ha demostrado que gran parte de la teoría abstracta de homotopías puede llevarse a cabo en el marco de las categorías de (co)fibraciones de Brown [MR0341469]. La propiedad decisiva, inmediata a partir de los axiomas, es que cualquier morfismo puede factorizarse en una cofibración, seguida de una equivalencia débil.
H.-J. Baues [MR0985099], Cisinski [MR2729017] y Radulescu-Banu [arxiv.org/abs/math/0610009] siguieron después un camino similar. Ahora alguien quiere convencerme de que este es el escenario adecuado para la teoría abstracta de homotopías. Para empezar, me gusta la simplicidad de los axiomas. Aun así, me gustaría que me convencieran de la necesidad práctica de este enfoque. Por eso mi pregunta:
¿Existen ejemplos de categorías de (co)fibraciones de Brown que no sean ya categorías de modelos de Quillen?
Más concretamente, ¿existe un par (C,W) formado por una categoría C y un subconjunto W en Mor C (equivalencias débiles) tal que (C,W) pueda dotarse de la estructura de una categoría de fibración (o cofibración) de Brown, pero no de la estructura de una categoría modelo de Quillen?
Estaría particularmente interesado en ejemplos en los que los axiomas de elevación de Quillen sean el obstáculo. Si no son una categoría modelo de Quillen sólo porque carecen de límites o colímites, no me entusiasmaría tanto.
Por otro lado, también agradecería ejemplos en los que sea relativamente fácil demostrar que son Brown, pero relativamente difícil que sean Quillen.
También agradecería buenas propiedades generales de estabilidad. Por ejemplo, en el caso de Brown no hay grandes problemas si se quiere ampliar el conjunto de equivalencias débiles, siempre que el conjunto mayor satisfaga (2 de 3) y siempre que el conjunto mayor resultante de cofibraciones acíclicas sea estable bajo pushouts (incisión).
En resumen, quiero poder exclamar: "¡Qué bien que tenemos el aparato Brown!".
