¿Ejemplos de categorías de (co)fibración de Brown que no son categorías modelo de Quillen?

Question

K.S. Brown ha demostrado que gran parte de la teoría abstracta de homotopías puede llevarse a cabo en el marco de las categorías de (co)fibraciones de Brown [MR0341469]. La propiedad decisiva, inmediata a partir de los axiomas, es que cualquier morfismo puede factorizarse en una cofibración, seguida de una equivalencia débil.

H.-J. Baues [MR0985099], Cisinski [MR2729017] y Radulescu-Banu [arxiv.org/abs/math/0610009] siguieron después un camino similar. Ahora alguien quiere convencerme de que este es el escenario adecuado para la teoría abstracta de homotopías. Para empezar, me gusta la simplicidad de los axiomas. Aun así, me gustaría que me convencieran de la necesidad práctica de este enfoque. Por eso mi pregunta:

¿Existen ejemplos de categorías de (co)fibraciones de Brown que no sean ya categorías de modelos de Quillen?

Más concretamente, ¿existe un par (C,W) formado por una categoría C y un subconjunto W en Mor C (equivalencias débiles) tal que (C,W) pueda dotarse de la estructura de una categoría de fibración (o cofibración) de Brown, pero no de la estructura de una categoría modelo de Quillen?

Estaría particularmente interesado en ejemplos en los que los axiomas de elevación de Quillen sean el obstáculo. Si no son una categoría modelo de Quillen sólo porque carecen de límites o colímites, no me entusiasmaría tanto.

Por otro lado, también agradecería ejemplos en los que sea relativamente fácil demostrar que son Brown, pero relativamente difícil que sean Quillen.

También agradecería buenas propiedades generales de estabilidad. Por ejemplo, en el caso de Brown no hay grandes problemas si se quiere ampliar el conjunto de equivalencias débiles, siempre que el conjunto mayor satisfaga (2 de 3) y siempre que el conjunto mayor resultante de cofibraciones acíclicas sea estable bajo pushouts (incisión).

En resumen, quiero poder exclamar: "¡Qué bien que tenemos el aparato Brown!".

Answer 1

Consideremos una categoría abeliana $A$ (o, más en general, una categoría exacta en el sentido de Quillen), entonces la categoría de complejos de $A$ es una categoría de objetos cofibrantes con los cuasi-isomorfismos como equivalencias débiles y los monomorfismos de grado (admisibles) como cofibraciones. No se trata de una categoría modelo de Quillen en general (si se restringe la atención a los complejos acotados, los axiomas de elevación de Quillen corresponden exactamente al hecho de que hay suficientes injetivos en $A$ que puede fallar en general, como puede verse contemplando la categoría opuesta de la categoría de láminas sobre un espacio topológico suficientemente general). Además, incluso en el caso de que tengamos suficientes injetivos, también es posible considerar monomorfismos de división en grado como cofibraciones (manteniendo las mismas equivalencias débiles), y entonces, los axiomas de Quillen fallan a menos que los cuasi-isomorfismos sean todos equivalencias de homotopía de cadena (en el caso de una categoría abeliana, esto significa que $A$ es semisimple). Estos ejemplos son ejemplos de una situación más general: consideremos una categoría de objetos cofibrantes $C$ con clase de equivalencias débiles $W$ . Entonces, para cualquier clase $S$ de mapas de $C$ se puede definir una nueva clase de mapas $W(S)$ como la más pequeña que contiene $W\cup S$ y que cumple las siguientes propiedades: tiene la propiedad dos de tres, y la clase de cofibraciones que están en $W(S)$ es cerrado bajo pushouts y sumas finitas. La buena noticia es que $C$ sigue siendo una categoría de objetos cofibrantes con las mismas cofibraciones pero con $W(S)$ como clase de equivalencias débiles.

Este proceso es exactamente lo que se necesita para definir la noción de cuasi-isomorfismo de complejos de una categoría exacta: partiendo de la categoría de complejos acotados con monomorfismos de división en grado y equivalencias de homotopía de cadena como equivalencias débiles (que es entonces una categoría modelo de Quillen módulo la existencia de (co) límites finitos), se obtienen cuasi-isomorfismos como la clase $W(S)$ donde $S$ consiste en mapas $X\to 0$ donde $X$ recorre la familia de complejos asociados a secuencias exactas cortas admisibles $$0\to A\to B\to C\to 0$$ Existe una versión no abeliana de esta construcción: considérese una categoría (pequeña) $C$ . Podemos entonces considerar la categoría $s(C)$ de objetos simpliciales en la terminación libre de $C$ por sumas finitas. Entonces, considerando los monomorfismos divididos termalmente, hay una clase más pequeña de mapas $W$ tal que $s(C)$ es una categoría de objetos cofibrantes con $W$ como equivalencias débiles y tal que cualquier equivalencia homotópica simplicial está en $W$ . En $(\infty,1)$ -(obtenida considerando la localización de Dwyer-Kan de $C$ por $W$ ) corresponde a la terminación libre de $C$ por colímitos de homotopía finita; por ejemplo, para $C$ la categoría de terminal, $s(C)$ es simplemente la teoría de homotopía de conjuntos simpliciales finitos. Si se hace la misma construcción sustituyendo $C$ por su realización con pequeñas sumas y sustituyendo $W(S)$ por su cierre bajo pequeñas sumas y realizaciones, entonces se obtiene la teoría de homotopía de pretramas simpliciales cofibrantes sobre $C$ (para la estructura modelo proyectiva), salvo que no se ha utilizado ninguna herramienta complicada para definirla (ni argumento de objeto pequeño, ni teorema de elevación; de hecho, no es necesario conocer en absoluto la categoría modelo de conjuntos simpliciales). Por supuesto, esta aparente simplificación tiene un precio: no sabes cómo construir límites de homotopía en este lenguaje. La ventaja es que ya puedes hablar de colímites de homotopía, de modo que puedes usar esto para entender cómo construir estructuras teóricas de homotopía (por ejemplo, categorías modelo de Quillen).

Otro buen ejemplo de una categoría de objetos cofibrantes que no es una categoría modelo es la categoría de complejos CW finitos. Se puede argumentar que se trata de una subcategoría de la categoría de objetos cofibrantes de una categoría modelo de Quillen. Pero, de hecho, siempre es así: cualquier categoría de objetos (co)-fibrantes puede incrustarse muy bien en una categoría modelo simplicial adecuada; véanse los teoremas 3.2, 3.10 y 3.25 y la observación 3.13 de mi artículo Invariancia de la teoría K por equivalencias de derivadas , J. K-theory 6 (2010).

Answer 2

En una serie de artículos que comienzan con Abstract homotopy theory in procategories, Cahiers Top. Géom. Diff., 17, 1976, pp. 113-124,

y con partes posteriores también en la misma revista pero publicadas en los dos años siguientes, exploré una estructura de tipo Brown en una pro-categoría. Esto es MUCHO más fácil de definir que la teoría de tipos de Quillen. Había tanto una estructura de fibración como de cofibración e interactúan pero no parece que haya una estructura MC de Quillen inmediatamente allí. Creo que es posible generar una estructura de Quillen (QMC) a partir de cualquiera de las dos, pero es posible desarrollar bastante teoría sin ella simplemente utilizando la estructura más débil.

En el libro se plantea la cuestión general de la Teoría Abstracta de Homotopías:

Abstract Homotopy and Simple Homotopy Theory, World Scientific, 462pp (ISBN 981-02-1602-5) junio de 1997,

por mí mismo y por Heiner Kamps. Nos pareció que había situaciones de teoría de la homotopía en las que la construcción más natural era a través de un functor cilíndrico o su dual cocilíndrico. La medida en que puede construirse una teoría de homotopía viable depende entonces de las condiciones de relleno de ese cilindro/cocilindro. Encontramos condiciones que daban una estructura de tipo Brown.

La teoría desarrollada por Baues es similar, pero con un aspecto diferente. Quizás habría que considerar el enfoque QMC como álgebra homotópica, mientras que a este enfoque se le dio el nombre de homotopía algebraica, y las dos teorías tienen objetivos ligeramente distintos, aunque a menudo estudian los mismos objetos.

Mi opinión es que "el entorno adecuado para la teoría abstracta de homotopías" es el que funciona bien en un entorno determinado, ya que la mayoría de las veces la importancia de la teoría es que te da teoremas, cálculos, etc., en algún área de aplicación, no resultados sólo por su propia razón interna e intrínseca. Además, lo que es "adecuado" en un momento dado y para un determinado desarrollo puede no serlo en otro momento y con otro objetivo. No existe un sistema axiomático único y universal que sea preferible a todos los demás. Los axiomas QMC son hermosos y las variantes modernas también, pero la elegancia de la teoría de Baues, la simplicidad de las teorías basadas en cilindros, etc., todas tienen puntos a su favor.

Answer 3

Otogonbayar Uuye observó en 1011.2926 que la categoría de $C^*$ -pueden convertirse en una categoría con objetos fibrantes en el sentido de K.S. Brown de varias maneras. Pero no parece haber estructuras modelo correspondientes, a menos que extendamos la categoría de $C^*$ -álgebras.

Answer 4

En primer lugar, permítanme añadir algo a la respuesta de Dai Tamaki.

De hecho, la categoría de $C^\ast$ -algebras admite varias estructuras naturales de categoría de objetos fibrantes. La más sencilla toma las equivalencias débiles como equivalencias homotópicas y esto describe la teoría homotópica de $C^\ast$ -álgebras. Y esto no se extiende a una estructura de categoría modelo como observó J. Grodal (en realidad consideró una estructura de categoría de fibración de Baues). La razón por la que habla de suspensiones y productos es la siguiente:

La categoría de conmutativas $C^\ast$ -es equivalente a la frente a categoría de espacios Hausdorff compactos puntiagudos. Así pues, existe un estrecho paralelismo entre los espacios topológicos y $C^\ast$ -algebras. Por tradición, $C^\ast$ -los algebristas utilizan el lenguaje de los espacios para los objetos análogos en la categoría de $C^\ast$ -álgebras. Por tanto, tensando por $C_0(I, \partial I)$ se denomina suspensión por $C^\ast$ -algebristas, mientras que teóricamente homotópica es realmente la espacio-bucle (y los espacios-bucle deben preservar los productos).

Para un ejemplo "en el que es relativamente fácil demostrar que son Brown, pero relativamente difícil que son Quillen", véase nLab: Categoría de Objetos Fibrantes: Láminas simpliciales :

Esquilas simpliciales

T de objetos fibrantes es que al pasar de infinito-grupoides a infinito-pilas, es decir, a tramas con valores en infinito-grupoides, la manera ingenua obvia de levantar el modelo de ∞-grupoides a tramas de ∞-grupoides falla, ya que los axiomas de elevación necesarios axiomas de elevación sólo se cumplirán localmente (por ejemplo, en sentido estricto).

O categoría de modelo más sofisticada como se describe en model sobre presheaves simpliciales, pero a menudo es útil utilizar una solución más solución más ligera y considerar sheaves con valores en ∞-groupoides como una categoría de objetos fibrantes, prescindiendo así de la problemática propiedad de elevación (como toda mención de cofibraciones cofibraciones).

De hecho, se podría decir que Brown desarrolló su teoría principalmente para estudiar este ejemplo.

Answer 5

Considere la categoría $Cat(S)$ de categorías internas en una categoría finitamente completa $S$ equipado con una pretopología de Grothendieck $J$ . Para $S$ y $J$ que satisface ciertas propiedades, entonces existe una estructura de modelo de Quillen, mostrada por Everaert, Kieboom y van der Linden donde las equivalencias débiles son aquellos funtores internamente totalmente fieles, esencialmente "suryectivos" (*). Pero sin las asunciones que da EKvdL, sólo hay una estructura de modelo de Brown en general (no sé si esto está publicado, Urs Schreiber me lo mencionó y yo mismo escribí la prueba). Principalmente el problema viene con no tener cocompletitud de $Cat(S)$ para las que dan supuestos suficientes, como $S$ ser un topos con NNO, o ser una categoría Mal'cev regular finitamente cocompleta.

Se podría afirmar (Urs podría, por ejemplo :) que se trata de un caso especial de una categoría de láminas simpliciales de la respuesta de Otgonbayar Uuye, a saber, aquellas láminas simpliciales que son nervios de categorías y representables. Pero no se necesita la maquinaria de las láminas simpliciales para hablar de este caso.