Definición incorrecta de un campo de Curtis' Resumen de Álgebra Lineal?

Question

En las páginas 2-3 de Curtis, Resumen de Álgebra Lineal, se da una definición de un campo que parece no excluir a una patológica ejemplo. Él dice que un campo es un conjunto de k con dos operaciones (a+b) y (ab) tal que:

• $k$ es un grupo abelian con +

• $k - {0}$ (donde 0 es la identidad aditiva del grupo anterior) es un grupo abelian más de multiplicación

• para todos los a,b,c, $a(b + c) = ab + ac$.

Es fácil de demostrar, usando la distributividad, que para cualquier $a$, $a0 = 0$. Pero demostrando que $0a = 0$ parece requerir saber que $(b + c)a = ba + ca$. Sin embargo, demostrando que este es el caso parece requerir saber que $0a = 0$.

Para ser claros, si para un valor distinto de cero $a, b$, $0a = b$, tenemos algo muy patológico. $0b = 0(0a) = (00)a = 0a = b$, lo $01 = 0(bb^{-1}) = (0b)b^{-1} = bb^{-1} = 1$. Ahora para cualquier valor distinto de cero a, $a = a1 = a(01) = (a0)1 = 01 = 1$, por lo que el único elemento distinto de cero es 1. Pero no hay ninguna contradicción aquí que veo.

Definir:

0+0 = 0 = 1+1
0+1 = 1 = 1+0

00 = 0 = 10
11 = 1 = 01

Además claramente que recibe un grupo abelian. k - {0} es el trivial grupo, y la distributividad satisfecho:

0(0+0) = 00 = 0 = 0 + 0 = 00 + 00
0(0+1) = 01 = 0 + 01 = 00 + 01
0(1+1) = 00 = 0 = 1 + 1 = 01 + 01

1(0+0) = 10 = 0 = 0 + 0 = 10 + 10
1(0+1) = 11 = 1 = 0 + 1 = 10 + 11
1(1+1) = 10 = 0 = 1 + 1 = 11 + 11

Veo la misma definición para el campo en p. 34 de Dummit y Foote, 3ed. Así que he cometido un error? O es esta definición carece de un axioma adicional para excluir el caso anterior:

• para cualquier a, b, c, $(a + b)c = ac + bc$

EDICIÓN, Jagy: se ha Corregido en la fe de Erratas para la tercera edición de Dummit y Foote, ver fe de ERRATAS PDF

Answer 1

EDICIÓN de la Mañana del domingo: no me dan Herstein, o frexids, el suficiente crédito. Herstein simplemente define un (asociativa) anillo de como tener las dos a la izquierda y a la derecha distributiva leyes. Por lo que el posterior comentario acerca de un campo de un anillo con $1$ de manera tal que el valor distinto de cero elementos forman un grupo abelian es totalmente apropiado.

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Yo aún conservo algunos de los libros que definen un campo. Estoy un poco sorprendido. Todos los tres, esencialmente, incluyendo el álgebra lineal uno, esencialmente definir un anillo conmutativo en primer lugar, a continuación, decir que un campo es un anillo conmutativo con identidad y los inversos multiplicativos. Así que parece que ha encontrado un resquicio. En realidad Nering simplemente le da a todos los axiomas en una página.

Por lo tanto, mi resumen sería que, si el contexto no había sido creado antes de la definición del campo, hay un problema con la redacción de su libro. Parece posible que el lenguaje es un perezoso copia de Herstein, que era un auténtico experto. Sin embargo, el ejemplo 3.1.3 en la antigua edición me lee:

$R$ es el conjunto de los números racionales en virtud de la costumbre y además la multiplicación de los números racionales. $R$ es un anillo conmutativo con unidad de elemento. Pero aún más que eso, tenga en cuenta que los elementos de $R$ diferente de $0$ formar un grupo abelian bajo la multiplicación. Un anillo con esta última propiedad se denomina campo.

Como usted ha señalado, esta última línea es perezoso. Tal vez la gente se copian a partir de esto, el libro es, sin duda influyentes. A continuación, en el capítulo 5, correctamente se define un campo como un anillo conmutativo con elemento unidad y los inversos multiplicativos para distinto de cero elementos.

En suma, no me gustaría añadir una segunda ley distributiva, acabo de demanda que la multiplicación ser conmutativa para todos los pares de elementos.

Yo nunca había oído hablar de Dummit y Foote, así que he buscado en línea. He encontrado una página de erratas, aquí está la primera página, que corrige la página 34 en la tercera edición:

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