Como cada $F_\sigma$ subespacio de a $T_2$ o espacio paracompacto regular es de nuevo paracompacto, el espacio entero requerido debe ser no $T_2$ así como no regulares.
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DiGi
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Sea $S=\{0,1\}$ con la topología $\big\{\varnothing,\{0\},S\big\}$ . Sea $Z=S\times\Bbb N$ donde $\Bbb N$ tiene la topología discreta. Sea $p$ sea un punto que no esté en $Z$ y que $Y=Z\cup\{p\}$ . $Z$ es un subconjunto abierto de $Y$ y nbhds básicos abiertos de $p$ son los conjuntos de la forma
$$B(F)=\{p\}\cup\big(\{0\}\times(\Bbb N\setminus F)\big)$$
para finito $F\subseteq\Bbb N$ .
Sea $\mathscr{U}=\{B(\varnothing)\}\cup\big\{S\times\{n\}:n\in\Bbb N\big\}$ ; se trata de una portada abierta de $Y$ . Sea $\mathscr{R}$ sea un refinamiento abierto de $\mathscr{U}$ Entonces $S\times\{n\}\in\mathscr{R}$ para cada $n\in\Bbb N$ Así que $\mathscr{R}$ no es localmente finito en $p$ . Así, $Y$ no es paracompacta.
Ahora dejemos que $X$ sea el Ampliación Alexandroff de $Y$ . $X$ es compacta y, por tanto, paracompacta. Los conjuntos $S\times\{n\}$ para $n\in\Bbb N$ se cierran en $X$ tal cual $\{p\}$ Así que $Y$ es un $F_\sigma$ en $X$ .
