En el $\mathbb R$ -sobre $C^\infty(M)$ .

Question

Como es más o menos conocido, y como ha salido en MO un par de veces, el $\mathbb R$ -álgebra $C^\infty(M)$ de funciones suaves en una (digamos) variedad compacta contiene esencialmente todo lo que hay que saber sobre $M$ sí mismo.

¿Se puede realmente necesitan conocer la $\mathbb R$ -Sin embargo, ¿estructura de álgebra? ¿Podemos arreglárnoslas con $C^\infty(M)$ ¿dado como anillo abstracto?

A modo de comparación, si no recuerdo mal se puede reconstruir (como colector analítico) un subconjunto abierto $U\subseteq\mathbb C$ del campo de funciones meromorfas sobre él, dado como campo abstracto. (Se deduce, por supuesto, que el anillo de funciones holomorfas también puede utilizarse para reconstruir $U$ .)

Answer 1

Se puede determinar la estructura R-álgebra de $C^\infty(M)$ puramente de su estructura anular. Como menciona Robin Chapman, la función constante 1 _M está determinada unívocamente por el hecho de que es el elemento identidad, y la multiplicación por racionales está definida unívocamente, por lo que las funciones iguales a un valor racional constante están determinadas unívocamente.

En realidad, el homomorfismo de anillo $F\colon\mathbb{R}\to C^\infty(M)$ es única, lo que también define de forma única la estructura del álgebra R.

Los elementos positivos $x\in\mathbb{R}$ son cuadrados, por lo que $F(x)$ debe ser un cuadrado en $C^\infty(M)$ y, por tanto, no negativo en todas partes. Entonces, para cualquier $x\in\mathbb{R}$ y números racionales $a\le x\le b$ tenemos $F(x)-a1_M=F(x-a)\ge0$ y $b1_M-F(x)=F(b-x)\ge0$ Así que $F(x)\in C^\infty(M)$ toma valores en el intervalo $[a,b]$ . Esto demuestra que, de hecho, $F(x)=x1_M$ .

Pensándolo bien, esto funciona porque $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ tiene grupo de Galois trivial. Se puede ver esto preguntando si la estructura del álgebra C en $A\equiv C^{\infty}(M,\mathbb{C})$ está determinada unívocamente por su estructura anular, para lo cual la respuesta es no. Para cualquier $\sigma\in{\rm Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{Q})$ no es posible distinguir una constante $f\in A$ de $\sigma(f)$ en términos de operaciones en anillo [editar: si $\sigma$ es continua, es decir. Por lo tanto, sólo se considera el elemento de identidad y la conjugación compleja]. En cambio, podrías preguntar si es posible determinar la estructura del álgebra C hasta la acción del grupo de Galois. Si el colector es conexo, la respuesta es afirmativa. La función constante que toma el valor $\pm i$ en todas partes viene dada por $i_M^2+1_M=0$ y las funciones constantes $f\in A$ son aquellos para los que $f-\lambda1_M-\mu i_M$ son unidades para todas las opciones de $\lambda,\mu\in\mathbb{Q}$ . Las funciones constantes son isomorfas a $\mathbb{C}$ que está determinada hasta la acción del grupo de Galois. Si no es conexo, ni siquiera podemos decir eso. Para cualquier mapa localmente constante $\sigma\colon M\to{\rm Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{Q})$ no es posible distinguir $f\in A$ de $f_\sigma(P)\equiv\sigma(P)(f(P))$ mediante operaciones en anillo. La estructura del álgebra C está determinada unívocamente hasta la acción de tal constante local $\sigma$ sin embargo, que todavía debe ser suficiente para decirle todo sobre el colector. Trabajando sobre los reales, nada de esto importa, debido a la trivialidad del grupo de Galois.

Answer 2

Si $M$ está conectada, entonces se puede determinar $\mathbb{R}$ (las funciones constantes) dentro de $C^\infty(M)$ (el anillo de funciones suaves de valor real sobre $M$ ). Ciertamente se puede determinar $\mathbb{Q}$ en $C^\infty(M)$ . Si $f$ no está en $\mathbb{Q}$ entonces es una función constante si $f-a$ es una unidad en $C^\infty(M)$ para todos $a\in\mathbb{Q}$ . La clave es que todas las funciones no constantes deben tomar un valor racional.

Esto no funciona para los no conectados $M$ ya que una función $f$ pueden tomar valores constantes distintos en una partición clopen en $M$ . Quizá se puedan usar idempotentes...