en $p^n+q^n=(p+q)^k$

Question

Evalúe la condición de soluciones enteras para $n$ .

Encontré esta pregunta en un libro antiguo:

Encontrar el menor número de forma $2^n+3^n$ divisible por $625$ . Esta solución es de ese libro; n debe ser impar y podemos escribir:

$$2^n+3^n$$ $$=2^n+(-1)^n(2-5)^n$$ $$=2^n+(-1)^n\cdot 2^n-(-1)^n\cdot2^{n-1}\cdot5\cdot n+(-1)^n\cdot2^{n-2}\cdot5^2\frac{n(n-1)}{2}-(-1)^n\cdot2^{n-3}\cdot5^3\frac{n(n-1)(n-2)}{6}+625 N$$

$$2^n+3^n=5n\big[2^{n-1}-(n-1)2^{n-2}.5+\frac{(n-1)(n-2)}{3}2^{n-2}.5^2\big]+625 N;\ n\geq 4$$

El valor dentro del corchete no es divisible por $5$ Así que $n$ debe ser divisible por $125$ si $2^n+3^n$ debe ser divisible por $625$ .

Un razonamiento similar puede utilizarse para cualquier primo $p$ y $q$ tal que:

$p^n+q^n0 \ mod (p+q)^k$

T $n=(p+q)^{k-1}$ .

Ahora tratamos de aplicar Euler $\phi$ función:

$\phi(625)=625\big(1-\frac{1}{5}\big)=500$

$2^{500}1 \mod 625$

$3^{500} 1 \ mod 625$

$3^{500}-2^{500}0 \mod 625$

$(3^{125}-2^{125})(3^{125}+2^{125})(3^{250}+2^{250})0 \mod 625$

Sólo $3^{125}+2^{125}$ puede ser divisible por 625. Pero $3^{125}+2^{125}$ Supongamos que no podemos utilizar el primer método porque p y q son demasiado grandes, entonces ¿cómo podemos estar seguros de que los factores más pequeños no son divisibles por $625$ ? es $n=125$ ¿el número más pequeño?

Answer 1

UNA PRUEBA GENERAL

Si $p$ y $q$ son primos distintos, entonces $p,q,p,p+q$ son pares coprimos.

Necesitamos $n$ ser impar y luego $$\frac{p^n+q^n}{p+q}=p^{n-1}-qp^{n-2}+ ... +q^{n}\equiv np^{n-1}\pmod {p+q}$$ Por lo tanto $p^n+q^n$ es divisible por $(p+q)^{k}$ sólo si $n$ es divisible por $(p+q)^{k-1}$ .

Answer 2

Si $n$ es par, claramente, $$5\nmid 2^n+3^n.$$ Para impar $n$ podemos utilizar Levantar el exponente .

Tenemos $$\nu_5\left(2^n+3^n\right)=\nu_5(2+3)+\nu_5(n),$$ para que $2^n+3^n$ es divisible por $625$ sólo cuando $n$ es divisible por $125$ . Es decir, $\boxed{125}$ es la respuesta correcta.