Productos internos que contienen el producto tensorial de dos operadores

Question

El libro de Nielsen & Chuang "Quantum Computation and Quantum Information" presenta el concepto de productos tensoriales de la siguiente manera.

Supongamos que tenemos los vectores $|v\rangle$ y $|w\rangle$ que existen en los espacios vectoriales $V$ y $W$ respectivamente. También definimos los operadores lineales $A$ y $B$ que existe en los mismos espacios vectoriales respectivos. Entonces podemos definir el producto tensorial de estos vectores y operadores que se comporta de la siguiente manera

$$\left(A\otimes B\right)\left(|v\rangle\otimes|w\rangle\right) = A|v\rangle\otimes B|w\rangle \tag{1}$$

Puedo aceptar esto como definición, pero mi pregunta surge de un ejercicio en el que se pide evaluar $$\langle\psi\,|E\otimes I|\,\psi\rangle\tag{2}$$ donde $E$ es un operador positivo y $|\psi\rangle$ es cualquiera de los cuatro Bell afirma . Sin embargo, el libro no describe el comportamiento de la expresión $$(A\otimes B)(|v\rangle)\tag{3}$$ Mi suposición es que no es una expresión válida ya que $|v\rangle$ no existe en el espacio vectorial $V\otimes W$ en el que se define el operador. ¿Estoy en lo cierto? ¿Cómo se expande el producto interior en la ecuación (2)?

Answer 1

Es una expresión perfectamente definida porque el producto tensorial es un espacio lineal.

Los vectores $|v\rangle\otimes |w\rangle$ forman una base de todo el espacio vectorial tensor-producto, por lo que cualquier vector (incluido el estado de Bell) en este espacio puede escribirse como combinaciones lineales de dichos vectores base. $$ |\psi \rangle = \sum_{ij} c_{ij} |v_j\rangle\otimes |w_j\rangle $$ Como los operadores son lineales y sabemos cómo actuar sobre cada término, el resultado de la acción del operador $L$ es $$ L |\psi \rangle = \sum_{ij} c_{ij} L |v_j\rangle\otimes |w_j\rangle $$ donde sus fórmulas ya dicen cómo evaluar los términos individuales, por ejemplo para $L = E\otimes I$ .

El producto interior natural de dos vectores en el espacio del producto tensorial viene dado por el producto simple de los factores. Elige una base como la anterior y escribe el producto interior de dos vectores base como productos de la forma más sencilla. $$ \langle v_i| \otimes \langle w_j| \cdot |v_m\rangle \otimes |w_k\rangle = \langle v_i|v_m\rangle \cdot \langle w_j|w_k\rangle$$ Esto define de nuevo el producto interior para dos vectores cualesquiera, por linealidad. Descomponemos cada uno de los dos vectores generales en el espacio del producto tensorial que entran en el producto interior como una combinación lineal de la simple $vw$ vectores base anteriores, aplica la ley distributiva para calcular el producto interior de cada término y suma los términos con los mismos coeficientes.