Reformulo ligeramente tu pregunta porque creo que es más lo que estás buscando:
¿Cuáles son ejemplos/no-ejemplos cuando $A \otimes \mathbb{C}$ es integral, cuando se ve como un $\mathbb{C}$-álgebra, para $k = \mathbb{Q}$.
La cuestión es: cuando se ve como un $\mathbb{Q}$-álgebra, el álgebra $A \otimes \mathbb{C}$ es un moloch de dimensión infinita que tiene casi ninguna relación discernible con $A$, mientras que visto como un $\mathbb{C}$-álgebra, el álgebra $A \otimes_\mathbb{Q} \mathbb{C}$, que en ese contexto a menudo se escribe como $A_\mathbb{C}$ se parece mucho a $A$. Tiene la misma dimensión, incluso podemos suponer que tiene la misma base (como espacio vectorial) y describir su multiplicación en términos de una tabla que da los productos de estos elementos base, pareciendo que el álgebra $A$ se puede describir independientemente del campo base y $A$ y $A_\mathbb{C}$ son esencialmente la misma cosa.
Pero esta apariencia es engañosa: por ejemplo, a menudo tendremos que $A \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{C}$ no es integral mientras que $A$ lo es. Creo que esto es a lo que tu pregunta se refiere.
Aquí tienes una respuesta:
Por un lado: un álgebra de dimensión finita sobre cualquier campo $k$ (en particular $k = \mathbb{Q}$) es integral (es decir, no contiene cero divisores) si y solo si es un álgebra de división (es decir, la multiplicación a la izquierda con un elemento no nulo fijo $y$ es biyectiva para todo $y$) si y solo si (esta segunda bi-implicación asume asociatividad) cada elemento no nulo tiene un inverso multiplicativo.
Por otro lado: cada álgebra de división de dimensión finita sobre $\mathbb{C}$ es unidimensional, es decir, es igual a $\mathbb{C}$ en sí misma.
Se sigue que para álgebras $A$ de dimensión finita sobre cualquier campo $k \subset \mathbb{C}$ tenemos que la integridad se destruye al pasar a $A \otimes \mathbb{C}$, a menos que $A$ fuera unidimensional (es decir, igual a $k$) desde el principio.
Escribo dos ejemplos concretos.
1) $k = \mathbb{Q}$, $A = \mathbb{Q}(\sqrt{2})$.
Claramente $A$ es un álgebra de división. Para ver que $A_\mathbb{C}$ no lo es, necesitamos distinguir entre el elemento $\sqrt{2} \in A$, que es un vector base de $A$ y $A_\mathbb{C}$ y el elemento $\sqrt{2}$ en $\mathbb{C}$, que es un escalar desde la perspectiva de $A_\mathbb{C}$. Para estar completamente seguros escribimos $\mathbf{v}$ para el vector $\sqrt{2} \in A$ y $\lambda$ para el escalar $\sqrt{2} \in \mathbb{C}$.
Ahora calculamos $(\mathbf{v} \otimes 1 - 1 \otimes \lambda)(\mathbf{v} \otimes 1 + 1 \otimes \lambda)$. Por extraña multiplicación tenemos que esto iguala a $(\mathbf{v} \otimes 1)^2 - (1 \otimes \lambda)^2 = (\mathbf{v}^2 \otimes 1^2) - (1^2 \otimes \lambda^2) = (2 \otimes 1) - (1 \otimes 2) = 2(1 \otimes 1) - 2(1 \otimes 1) = 0$. Para la penúltima igualdad volví a la definición de $A \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{C}$ como un álgebra de $\mathbb{Q}$ en lugar de un álgebra de $\mathbb{C}$ para poder sacar descaradamente escalares de $\mathbb{Q}$.
2) $k = \mathbb{R}$, $A = \mathbb{H}$ los cuaterniones. Esto es, famosamente, un álgebra de división. Incluyo este ejemplo porque es no conmutativo. También podríamos utilizar un álgebra de división de cuaterniones sobre $\mathbb{Q}$ (de hecho, hay infinitos) pero elijo $k = \mathbb{R}$ porque este álgebra de cuaterniones es más conocido y incluso tiene su propio nombre. Ahora $\mathbb{H}_\mathbb{C} = \mathbb{H} \otimes_\mathbb{R} \mathbb{C}$ cuando se considera como un álgebra de $\mathbb{C}$ es isomorfo a $Mat(2, \mathbb{C})$, ¡el álgebra de matrices $2 \times 2$! Necesitas reflexionar un poco sobre por qué esto es cierto, pero mucho más fácil es comprobar que, de nuevo, la integridad se pierde.
Algo más se pierde también: sea $B = Mat(2, \mathbb{R})$. Entonces $A \neq B$ ¡pero $A_\mathbb{C} = B_\mathbb{C}$!
Aquí hay una respuesta diferente:
El caso de dimensión infinita es diferente del caso de dimensión finita. Aquí es posible que la integridad se conserve.
Ejemplo: $A = k[X]$, el álgebra de polinomios. Entonces $A_\mathbb{C} \cong \mathbb{C}[X]$.
