¿Existe una familia completa de funciones ortogonales suaves con soporte compacto?

Question

¿hay familias de función que lo sean: $\def\R{\mathbb R}$

1. Suave, es decir $C^\infty(\R\to\R)$ y

2. Completas, es decir, que pueden aproximarse puntualmente a * cualquier función continua a trozos $\R\to\R$ en casi todas partes $^1$ y

3. Son ortogonales respecto a cualquier producto, y

4. Cada función tiene un soporte compacto.

*) En casi todas partes. Me interesan sobre todo las aproximaciones de funciones del "mundo real", como las que se utilizan en ingeniería y física, y menos las construcciones patológicas.

Por lo que tengo entendido, no se conocen familias de este tipo, así que ¿hay alguna razón / prueba de por qué no existen estas familias? ¿O se trata de un tema de investigación actual?

Hay procedimientos que producen infinitas familias de este tipo, soluciones de algunos operadores diferenciales, un ejemplo son las funciones trigonométricas, otro ejemplo son las funciones de Bessel, otro son los polinomios. Sin embargo, ninguna de ellas satisface 4.

Y si necesitas 2., 3. y 4. entonces lo más parecido que puedes conseguir son Ondículas de Daubechies ? Pueden adaptarse para ser $C^n$ para cualquier $n$ pero no son $C^\infty$ .

No tengo conocimientos de investigación, pero me lo pregunto desde que oí hablar de las ondículas de Daubechies hace décadas...

Answer 1

He aquí algunas observaciones generales:

1. Funciones suaves con soporte compacto (denotadas con $C_C^\infty(\Bbb R)$ ) son densos en $L^2(\Bbb R)$ .
2. Si $f_n\to f$ en $L^2$ sentido entonces hay una subsecuencia $f_{n_k}$ que converge puntualmente en casi todas partes a $f$ .
3. $L^2(\Bbb R)$ es separable.

Los puntos 1. y 3. implican que existe algún subconjunto contable de $C_C^\infty(\Bbb R)$ que es denso en $L^2(\Bbb R)$ . A continuación, puede realizar el procedimiento Gramm-Schmidt en este subconjunto para recuperar un ONB de $L^2(\Bbb R)$ que consiste únicamente en $C_C^\infty$ funciones.

(El procedimiento Gramm-Schmidt funciona inductivamente, para una secuencia $v_n\neq0$ deje $e_1=\frac{v_1}{\|v_1\|}$ y para $e_n$ considerar primero $v_n$ si depende linealmente de la anterior $v_1,...,v_{n-1}$ tirarlo, si no, que $e_n' = v_n - \sum_{i=1}^{n-1} \langle v_n, e_i\rangle e_i$ y luego $e_n := \frac{e_n'}{\| e_n'\|}$ .)

Ahora bien, puesto que usted tiene un ONB $e_n$ de $C_C^\infty$ funciones cualquier $L^2$ función $f$ se puede escribir como: $$f=\sum_{n=1}^\infty \langle f, e_n\rangle\, e_n$$ donde la suma converge en $L^2$ sentido. Se deduce que entonces se obtiene una subsecuencia $N_k$ para que $$\lim_{k\to\infty}\sum_{n=1}^{N_k} \langle f, e_n\rangle e_n$$ se aproxima a $f$ puntualmente en casi todas partes por la observación 2. Sin embargo, la suma finita anterior es una $C_C^\infty$ ya que es una combinación lineal finita de dichas funciones.

Resumiendo: Sí, esas familias de funciones existen. Dada una familia aleatoria de $L^2$ lo único que necesita para extraer un ONB que satisfaga sus propiedades es 1) que esté cerrado bajo combinaciones lineales y 2) que sea denso en $L^2$ . Hay muchas familias así, ya que estas dos propiedades no son muy raras.