Hay números que se describen en alguna base pero no según el patttern $6210001000$ ?

Question

Llamar dígito al primer dígito de un número $0$ . El dígito después de ese dígito $1$ y así sucesivamente.

En la base $10$ el número $6210001000$ se describe a sí misma, porque digit $0$ es $6$ y tiene seis $0$ s. Dígito $1$ es $2$ y tiene $2$ $1s$ . Dígitos $2$ es $1$ y sólo hay una $2$ . No hay ninguno de los otros numerales.

Así que se me ocurre que en duodecimal, se puede hacer $821000001000$ que es $6073061476032$ en decimal. En base $40,$ podrías hacer $Z21000...$ algo así, ya te haces una idea. Podrías seguir, el único problema es no tener suficientes símbolos.

Según un gráfico que vi en Facebook, $6210001000$ es el único número de este tipo en base $10$ . Me pregunto: ¿podría haber alguna base en la que un número se describa a sí mismo así pero su primer dígito no sea 4 menos que la base, seguido de $21$ y un montón de 0s con un 1 cerca del final?

Answer 1

Para bases suficientemente grandes (como ha señalado @Goos, hay ejemplos para bases bajas), es imposible. Voy a utilizar los hechos de que debe haber tantos números como la base, y que los dígitos deben sumar a la base (ya que cuentan los dígitos en el número).

Toma la base $=n$ y considerar el primer dígito $k$ . $k$ no puede ser cero, porque eso significaría que hay cero ceros, ¡lo cual no sería cierto! Así que hay $k$ ceros, y al menos un $k$ (por ahora), lo que significa que tenemos $$n-k-1$$ dígitos que quedan por rellenar. Estos dígitos deben sumarse a los restantes $n-k-k\cdot 0=n-k$ y el único $n-k-1$ dígitos que suman $n-k$ son $$1,1,\ldots,1,2$$ (tenemos $n-k-2$ de uno). Eliminaré $k=1,2$ más tarde. Así que tenemos $2$ de algo, no $k$ y no ceros. Debemos tener $2$ de uno. Y luego tenemos uno $k$ y una $2$ que funciona. La condición de que los números sumen a la base da $$k+1+1+2+k\cdot 0=k+4=n \implies k=n-4$$ por lo que el único número autodescriptivo posible es $$(n-4)(2)(1)0\ldots(1)0\ldots0.$$

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Si $k=1$ entonces tendrá que haber dos uno, un dos y un cero. Esto da la única posibilidad $$(1210)_4$$ en base $4$ .

Si $k=2$ entonces debe haber dos doses. Tenemos dos ceros, así que hay uno o ningún uno. Las dos posibilidades aquí son $$(21200)_5,\quad (2020)_4$$ Así que hemos enumerado todos los números autodescriptivos.

Answer 2

Sí, las hay, pero no se sabe si son muchas.

Permítanme reformular "el patrón 6210001000" algebraicamente así: $(b - 4)b^{b - 1} + 2b^{b - 2} + b^{b - 3} + b^3$ . Así pues, la base más pequeña en la que esto da lugar a un patrón de dígitos similar a 6210001000 es la base 7. Pero como $6^5 = 7776$ , tal vez podamos hacer una búsqueda exhaustiva en binario, ternario, cuaternario, quintal y heximal.

Se obtiene 1210 en cuatrimal, que es 100 en decimal, 2020 en cuatrimal, que es 136 en decimal, y 21200 que es 1425 en quintal. Ninguno de ellos es 292 ni 901, por lo que no siguen el patrón descrito. Aparentemente no hay ninguno en base 6.

Answer 3

No es una respuesta completa a tu pregunta, pero creo que el problema que describes puede reducirse a lo siguiente:

Dado un número natural $B>5$ demostrar que sólo hay un único conjunto múltiple $M$ de números naturales, tal que $\sum{M}=\prod{M}$ y $|M|=B-4$ .

Por ejemplo:

• $B=10$
• $M=\{6,2,1,1,1,1\}$
• $\sum{M}=\prod{M}$ y $|M|=B-4$

Si hay más de un conjunto múltiple de este tipo, entonces hay números que se describen a sí mismos en alguna base pero no según el patrón ilustrado.

Answer 4

Por lo que tengo entendido, el número 10.213.223 cumple los requisitos. Tiene un cero, dos unos, tres doses y dos treses. Eso es lo que me llevó a buscar en Google esta idea de los números que se describen a sí mismos. Estoy tratando de ver qué otros números califican.