Deje $U$ ser abierto y conectado subespacio del plano Euclidiano $\mathbb{R}^2$ $A\subseteq U$ un subespacio que es homeomórficos a la unidad cerrada de intervalo. Es $U\setminus A$ necesariamente conectado?
Respuestas
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Cada subconjunto $A$ $\mathbb{R}^{2}$ homeomórficos a $[0,1]$ es "manso", que es decir, hay una auto-homeomorphism del avión $\varphi$, de tal manera que $\varphi(A)=[0,1]$ (cita requerida :)). Luego de ello se sigue que $A$ puede ser representada como una intersección $A=\cap_{i=1}^{\infty}D_{i}$ de una disminución de la secuencia de (cerrado) topológica de discos, de modo que tenemos $D_{i}\subset U$ para algunos $i$ (suficientemente grande). Ahora, para demostrar que $U\backslash A$ está conectado, vamos $x,y\in U\backslash A$ $\gamma$ ser un topológico arco en $U$ conectar $x$$y$; entonces el conjunto $L=(\gamma\backslash D_{i}^{0})\cup\partial D_{i}$ está conectado. Para probar esto, deje $L=L_{1}\cup L_{2}$ donde $L_{1}$, $L_{2}$ son distintos abrir los subconjuntos de a $L$, entonces a partir de la $\partial D_{i}$ está conectado, podemos suponer que $\partial D_{i}\subset L_{1}$, pero luego cada componente $K$ de $\gamma\backslash D_{i}^{0}$ también está contenida en $L_{1}$ ($K$ es la intersección $\partial D_{i}$ $\ \gamma$ está conectado!); por lo tanto $L=L_{1}$, lo $L$ es conectado. Ahora, desde la $L\subset U\backslash A$, de ello se desprende que cualquiera de los dos puntos de $U\backslash A$ están contenidos en un conjunto conectado y por lo tanto $U\barra invertida $ También está conectada.
p.s. [Aquí $D_{i}^{0}$ es el interior de $D_{i}$.]
muerte
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Un arc $A$ necesariamente debe ser en el interior de $U$ y compacto, por lo que podemos encontrar un número finito de abiertos $\epsilon$-bolas, $U_1,U_2,\dotsc,U_n$ que cubren el arco y cuyos cierres están contenidas en $U$.
Recordemos que un abrir conectado subconjunto del espacio Euclídeo es el camino conectado. Ahora debe quedar claro que $U \setminus \left(\cup U_i\right)$ es la ruta de acceso conectado (siga su ruta original hasta llegar a la frontera si el $U_i$. A continuación, siga alrededor de las agujas del reloj o en sentido contrario, lo que usted prefiera, hasta llegar al punto donde su camino a la izquierda por última vez y siga el resto de los bits de su ruta original). Por lo tanto, es suficiente para mostrar el resultado de la apertura y conecta simplemente a establecer $\cup U_i$.
Por el mapeo de Riemann teorema $\cup U_i$ es homeomórficos a $\mathbb{R}^2$. Que terminar aplicando el Teorema de 63.2 de Munkres de la Topología:
Teorema 63.2 (Un nonseparation teorema). Deje $D$ ser un arco en $S^2$. A continuación, $D$ no separada $S^2$.
(Hay un tecnicismo con el punto en el infinito que se agregó a compactify $\mathbb{R^2}$, pero no debería ser difícil ver cómo su arco que une dos puntos que pueden permanecer algunos $\epsilon$ fuera de ella.)
