Deje UU ser abierto y conectado subespacio del plano Euclidiano R2 A⊆U un subespacio que es homeomórficos a la unidad cerrada de intervalo. Es U∖A necesariamente conectado?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?Cada subconjunto A R2 homeomórficos a [0,1] es "manso", que es decir, hay una auto-homeomorphism del avión φ, de tal manera que φ(A)=[0,1] (cita requerida :)). Luego de ello se sigue que A puede ser representada como una intersección A=∩∞i=1Di de una disminución de la secuencia de (cerrado) topológica de discos, de modo que tenemos Di⊂U para algunos i (suficientemente grande). Ahora, para demostrar que U∖A está conectado, vamos x,y∈U∖A γ ser un topológico arco en U conectar xy; entonces el conjunto L=(γ∖D0i)∪∂Di está conectado. Para probar esto, deje L=L1∪L2 donde L1, L2 son distintos abrir los subconjuntos de a L, entonces a partir de la ∂Di está conectado, podemos suponer que ∂Di⊂L1, pero luego cada componente K de γ∖D0i también está contenida en L1 (K es la intersección ∂Di γ está conectado!); por lo tanto L=L1, lo L es conectado. Ahora, desde la L⊂U∖A, de ello se desprende que cualquiera de los dos puntos de U∖A están contenidos en un conjunto conectado y por lo tanto U\barrainvertida También está conectada.
p.s. [Aquí D0i es el interior de Di.]
Un arc A necesariamente debe ser en el interior de U y compacto, por lo que podemos encontrar un número finito de abiertos ϵ-bolas, U1,U2,…,Un que cubren el arco y cuyos cierres están contenidas en U.
Recordemos que un abrir conectado subconjunto del espacio Euclídeo es el camino conectado. Ahora debe quedar claro que U∖(∪Ui) es la ruta de acceso conectado (siga su ruta original hasta llegar a la frontera si el Ui. A continuación, siga alrededor de las agujas del reloj o en sentido contrario, lo que usted prefiera, hasta llegar al punto donde su camino a la izquierda por última vez y siga el resto de los bits de su ruta original). Por lo tanto, es suficiente para mostrar el resultado de la apertura y conecta simplemente a establecer ∪Ui.
Por el mapeo de Riemann teorema ∪Ui es homeomórficos a R2. Que terminar aplicando el Teorema de 63.2 de Munkres de la Topología:
Teorema 63.2 (Un nonseparation teorema). Deje D ser un arco en S2. A continuación, D no separada S2.
(Hay un tecnicismo con el punto en el infinito que se agregó a compactify R2, pero no debería ser difícil ver cómo su arco que une dos puntos que pueden permanecer algunos ϵ fuera de ella.)