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Conexión de un cierto subconjunto del plano

Deje UU ser abierto y conectado subespacio del plano Euclidiano R2 AU un subespacio que es homeomórficos a la unidad cerrada de intervalo. Es UA necesariamente conectado?

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Liam W Puntos 6478

Cada subconjunto A R2 homeomórficos a [0,1] es "manso", que es decir, hay una auto-homeomorphism del avión φ, de tal manera que φ(A)=[0,1] (cita requerida :)). Luego de ello se sigue que A puede ser representada como una intersección A=i=1Di de una disminución de la secuencia de (cerrado) topológica de discos, de modo que tenemos DiU para algunos i (suficientemente grande). Ahora, para demostrar que UA está conectado, vamos x,yUA γ ser un topológico arco en U conectar xy; entonces el conjunto L=(γD0i)Di está conectado. Para probar esto, deje L=L1L2 donde L1, L2 son distintos abrir los subconjuntos de a L, entonces a partir de la Di está conectado, podemos suponer que DiL1, pero luego cada componente K de γD0i también está contenida en L1 (K es la intersección Di  γ está conectado!); por lo tanto L=L1, lo L es conectado. Ahora, desde la LUA, de ello se desprende que cualquiera de los dos puntos de UA están contenidos en un conjunto conectado y por lo tanto U\barrainvertida También está conectada.

p.s. [Aquí D0i es el interior de Di.]

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muerte Puntos 1474

Un arc A necesariamente debe ser en el interior de U y compacto, por lo que podemos encontrar un número finito de abiertos ϵ-bolas, U1,U2,,Un que cubren el arco y cuyos cierres están contenidas en U.

Recordemos que un abrir conectado subconjunto del espacio Euclídeo es el camino conectado. Ahora debe quedar claro que U(Ui) es la ruta de acceso conectado (siga su ruta original hasta llegar a la frontera si el Ui. A continuación, siga alrededor de las agujas del reloj o en sentido contrario, lo que usted prefiera, hasta llegar al punto donde su camino a la izquierda por última vez y siga el resto de los bits de su ruta original). Por lo tanto, es suficiente para mostrar el resultado de la apertura y conecta simplemente a establecer Ui.

Por el mapeo de Riemann teorema Ui es homeomórficos a R2. Que terminar aplicando el Teorema de 63.2 de Munkres de la Topología:

Teorema 63.2 (Un nonseparation teorema). Deje D ser un arco en S2. A continuación, D no separada S2.

(Hay un tecnicismo con el punto en el infinito que se agregó a compactify R2, pero no debería ser difícil ver cómo su arco que une dos puntos que pueden permanecer algunos ϵ fuera de ella.)

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