¿Determinar si todos los vectores de la forma (a,b,c), donde b=a+c+1 son subespacios de R^3?

Question

Determinar si todos los vectores de la forma $(a,b,c)$ donde $b=a+c+1$ son subespacios de $\mathbb{R}^3$ ?

Usa el teorema: Si $W$ es un conjunto de uno o más vectores de un espacio vectorial $V$ entonces $W$ es un subespacio de $V$ si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones

a) Si u y v son vectores en $W$ entonces u + v está en $W$ .
b) Si $k$ es cualquier escalar y u es cualquier vector en W, entonces k u está en $W$ .

Aparentemente, mi libro de texto dice que no es un subespacio de $\mathbb{R}^3$ . ¿Es porque no contiene un vector cero o qué? Realmente confundido.

Answer 1

Usted quiere que el conjunto

$$A:=\left\{\;\;\begin{pmatrix}a\\a+c+1\\c\end{pmatrix}\in\Bbb R^3\;\;;\;\;a,c\in\Bbb R\;\;\right\}$$

Ahora bien, si el origen pertenece a $\;A\;$ entonces debe ser que $$a=c=0\;,\;\;\text{and $ \También $}\;\;\;a+c+1=0$$

¿Puedes ver ahora por qué el vector cero (el origen) no puede pertenecer a $\;A\;$ ?

Answer 2

Considera que $(0,1,0)$ y $(0,2,1)$ están en este conjunto que intentas demostrar que es o no un subespacio. Si fuera un subespacio, sería cerrado bajo adición. ¿Qué pasa si sumas esos vectores?