La topología de la convergencia puntual con el operador adjunto en un álgebra de von Neumann

Question

Sea $H$ sea un espacio de Hilbert y ${\mathcal A}$ un álgebra de von Neumann en $B(H)$ . Dotémonos ${\mathcal A}$ con la topología de convergencia puntual con el operador adjunto hermitiano, es decir, una red $A_i\in {\mathcal A}$ tiende a 0 en ${\mathcal A}$ si $$ \forall x\in H\qquad A_ix\overset{H}{\underset{i\to\infty}{\longrightarrow}}0 \quad\&\quad A_i^*x\overset{H}{\underset{i\to\infty}{\longrightarrow}}0. $$ El álgebra ${\mathcal A}$ con esta topología tiene conjuntos totalmente acotados $S\subseteq {\mathcal A}$ , que creo, son descritos por la propiedad $$ \forall x\in H\qquad \text{the sets $ \ {Ax;\ A\in S\} $ and $ \A^*x;A\in S\} $ are totally bounded in $ H $} $$
Sea $u:{\mathcal A}\to{\mathbb C}$ sea una función lineal, que es continua en todo conjunto totalmente acotado (equivalentemente, en todo conjunto compacto) $S\subseteq {\mathcal A}$ en este sentido (con respecto a esta topología inducida a partir de ${\mathcal A}$ a $S$ ).

Pregunta:

hace $u$ pertenecen a ${\mathcal A}_*$ (el predual de ${\mathcal A}$ )?

EDITAR. Debo decir que incluso el caso de ${\mathcal A}=B(H)$ no me queda claro. E incluso si sustituimos la topología en ${\mathcal A}$ con los habituales topología de operador fuerte (es decir, si eliminamos el requisito $A^*_ix\to 0$ ). También podemos cambiar las premisas de otras formas diferentes, por ejemplo, podemos pensar que ${\mathcal A}$ es conmutativa (para mí sería suficiente ahora). Si alguien pudiera arrojar algo de luz sobre alguna condición debilitada, se lo agradecería mucho. Lo necesito para mi trabajo actual, esto está relacionado con el estudio de envolventes de álgebras topológicas .

Answer 1

[A petición del autor de la pregunta, he editado esta respuesta para incluir más información sobre las topologías que menciono].

La topología a la que se refiere en su pregunta es la fuerte $^*$ (operador), definida por los seminormales $$a \mapsto \|a \xi\| \quad \text{ and } \quad a \mapsto \|a^* \xi\|$$ para $\xi \in \mathcal{H}$ . En $\sigma$ -fuerte $^*$ (operador) está definida por las seminormas $$a \mapsto \sum_{n = 1}^\infty \|a \xi_n\| \quad \text{ and } \quad a \mapsto \sum_{n = 1}^\infty \|a^* \xi_n\|$$ para secuencias sumables al cuadrado $(\xi_n)_{n=1}^\infty$ . Del mismo modo, la topología fuerte del operador se define por las seminormas $$a \mapsto \|a \xi\|$$ y el $\sigma$ -La topología fuerte (operador) se define por las seminormas $$a \mapsto \sum_{n = 1}^\infty \|a \xi_n\|.$$ La topología débil del operador viene definida por las seminormas $$a \mapsto |\langle a \xi \,\vert\, \eta \rangle|$$ y el $\sigma$ -débil (operador), que coincide con la topología débil $^*$ está definida por los seminormales $$a \mapsto \sum_{n = 1}^\infty |\langle a \xi_n \,\vert\, \eta_n \rangle|.$$ Es un resultado estándar que todos los no $\sigma$ topologías tienen los mismos funcionales lineales continuos y todos los $\sigma$ tienen los mismos funcionales lineales continuos. Dado que las $\sigma$ y no $\sigma$ variantes de cada topología coinciden en conjuntos acotados, se deduce del Teorema de Krein-Smulian aplicado a la $\sigma$ -topología débil que todos tienen los mismos conjuntos convexos cerrados.

La ventaja del $\sigma$ versiones de las topologías es que cada $*$ -de las álgebras de von Neumann es un homeomorfismo para cualquiera de esas topologías, lo que no es cierto para la topología no $\sigma$ versiones. Sus seminormas definitorias también pueden definirse utilizando el predual, sin referencia a un espacio de Hilbert, por ejemplo el $\sigma$ -fuerte $^*$ viene dada por los seminormales $$a \mapsto \varphi(a^* a)^{1/2} \quad \text{ and } \quad a \mapsto \varphi(a a^*)^{1/2}$$ para $\varphi \in \mathcal{M}_*^+$ .

Tanto el fuerte $^*$ y $\sigma$ -fuerte $^*$ son cuasicompletas, lo que significa que todos los conjuntos cerrados y acotados son completos y, por tanto, la acotación total es equivalente a la precompacidad. Además, la noción de acotación (en el sentido de espacio vectorial topológico) coincide con la noción ordinaria de norma acotada para todas estas topologías. Para la $\sigma$ topologías para las que los funcionales lineales continuos son $\mathcal{M}_*$ esto se deduce del Teorema de Banach-Mackey. Para la no $\sigma$ también se deduce porque sus funcionales lineales continuas son densas en $\mathcal{M}_*$ .

Dado que una red $(a_\lambda)$ es Cauchy (resp. converge a $a$ ) en el fuerte $^*$ -si y sólo si $(a_\lambda)$ y $(a_\lambda^*)$ son Cauchy (resp. convergen a $a$ y $a^*$ ) en la topología del operador fuerte, sólo necesitamos demostrar la cuasicompletitud para la topología del operador fuerte. Pero una red de Cauchy acotada en la topología fuerte de operadores tiene un límite por el Principio de Acotamiento Uniforme. Esto también demuestra que la $\sigma$ -fuerte y $\sigma$ -fuerte $^*$ son cuasicompletas, porque son más finas que sus correspondientes topologías no complejas. $\sigma$ pero coinciden en los conjuntos acotados. De ahí que su pregunta sea una pregunta bien definida sobre la $\sigma$ -fuerte $^*$ topología de un álgebra abstracta de von Neumann.

Si $\mathcal{M}$ es un álgebra de von Neumann, entonces cualquier funcional lineal continua en subconjuntos compactos de la $\sigma$ -fuerte $^*$ topología es secuencial $\sigma$ -fuerte $^*$ continua. Sea $\varphi$ sea una función lineal sobre $\mathcal{M}$ es decir $\sigma$ -fuerte $^*$ -en conjuntos compactos. Si $(x_n) \to 0$ es $\sigma$ -fuerte $^*$ -convergente, entonces $K = \overline{\{ x_n : n \in \mathbb{N} \}}$ es $\sigma$ -fuerte $^*$ -compacto. Continuidad de $\varphi$ en $K$ implica que $(\varphi(x_n)) \to \varphi(0)$ . Por lo tanto $\varphi$ es secuencialmente continua.

Si $\mathcal{M}_*$ es separable, entonces la $\sigma$ -fuerte $^*$ es metrizable en partes acotadas de $\mathcal{M}$ . Elija un subconjunto denso $(\psi_n)_{n=1}^\infty$ de la bola unitaria de $\mathcal{M}_*$ . Entonces $$d(x, y) = \sum_{n = 1}^\infty \psi_n((x - y)^* (x - y))^{1/2} + \sum_{n = 1}^\infty \psi_n((x - y) (x - y)^*)^{1/2}$$ define una métrica para el $^*$ en la bola unitaria de $\mathcal{M}$ . En términos más generales, si $\mathcal{M}$ es contablemente descomponible y $\psi$ es un estado normal fiel en $\mathcal{M}$ entonces $$d(x, y) = \psi((x - y)^* (x - y))^{1/2} + \psi((x - y) (x - y)^*)^{1/2}$$ define una métrica para el $^*$ en la bola unitaria de $\mathcal{M}$ .

Dado que la continuidad secuencial es equivalente a la continuidad en espacios métricos, esto da una respuesta afirmativa a su pregunta cuando $\mathcal{M}$ es contablemente descomponible. Resultados similares son válidos para las demás topologías de operadores.

Matthias Neufang ha demostrado que secuencial $\sigma$ -la continuidad débil es equivalente a $\sigma$ -continuidad débil si y sólo si el número de descomponibilidad de $\mathcal{M}$ no es un cardinal mensurable de valor real, con $\ell^\infty(\kappa)$ para un cardinal mensurable de valor real $\kappa$ siendo un contraejemplo. Los argumentos deben generalizarse a la $\sigma$ -fuerte $^*$ topología, porque se reducen al caso conmutativo, y luego se reducen a una suma directa de espacios de medidas finitas, que dan álgebras de von Neumann contablemente descomponibles.

En el caso de $\ell^\infty(I)$ su pregunta tiene una respuesta afirmativa. En primer lugar, algunos preliminares sobre diversas topologías en $\ell^\infty(I)$ . Esto tiene cierta coincidencia con el última pregunta que respondí . La topología Mackey es la topología vectorial más fina en $\ell^\infty(I)$ tales que las funciones lineales continuas son $\ell^1(I)$ y viene dada por la convergencia en los subconjuntos débilmente compactos absolutamente convexos de $\ell^1(I)$ . El límite débil $^*$ (o la topología débil equicontinua $^*$ en los duales de espacios no-normados) es la topología vectorial más fina que concuerda con la topología débil $^*$ en conjuntos acotados, y viene dada por la convergencia en los conjuntos compactos de norma absolutamente convexa de $\ell^1(I)$ . Sus funcionales lineales continuas también son $\ell^1(I)$ . Desde $\ell^1(I)$ tiene la propiedad de Schur, estas topologías coinciden en $\ell^1(I)$ .

Por un teorema de Akemann, la fuerte $^*$ y Mackey coinciden en conjuntos acotados, por lo que la topología fuerte $^*$ topología concuerda con la débil $^*$ topología en subconjuntos acotados de $\ell^\infty(I)$ . El teorema de completitud de Grothendieck aplicado a $\ell^1(I)$ dice que la integridad de $\ell^1(I)$ implica que toda función lineal sobre $\ell^\infty(I)$ que es débil $^*$ -continua en la débil absolutamente convexa $^*$ -subconjuntos compactos de $\ell^\infty(I)$ (o simplemente la bola unitaria) está en $\ell^1(I)$ .

Dado que toda álgebra conmutativa de von Neumann es un producto de copias de $\mathbb{C}$ y $\mathrm{L}^\infty([0, 1])$ cuya fuerte $^*$ topologías son todas secuenciales, cabría esperar que esto se generalizara analizando la compacidad débil en el $\ell^1$ suma de los preduales con respecto a la compacidad débil en los componentes individuales, pero no veo cómo hacerlo seguir fácilmente de cualquier otro teorema.

Answer 2

Esto es un comentario a la respuesta anterior pero será demasiado largo y en cualquier caso no tengo derecho. Las preguntas que planteas se responden con mucho más detalle en un artículo de Comptes Rendus titulado "Topologies sur les espaces des opérateurs dans l'espace hilbertien" (A276 (1973) 1509). En él se discuten tres topologías localmente convexas en un álgebra de von Neumann: las topologías localmente convexas más finas que coinciden con la topología del operador débil, la topología del operador fuerte y la topología del operador fuerte simétrico en la bola unitaria. Todas ellas son completas, tienen las mismas secuencias convergentes que las anteriores, tienen el mismo espacio dual (los funcionales normales) y tienen la propiedad de que un funcional lineal sobre ellas es continuo si y sólo si es continuo sobre la bola unitaria para cada una o cualquiera de las topologías de operadores anteriores. Esto se puede encontrar en la literatura secundaria (en inglés) como el capítulo IV de "Saks spaces and applications to functional analysis" que está disponible en línea. Especialmente relevante es la proposición 2.3 de la página 204. El caso conmutativo se trata en el capítulo 3.