Ayuda con la demostración del divisor polinómico

Question

Dado $a \in F$ y $f \in F[x]$ demuestre que $(X-a)^2$ es un divisor de $f$ si $a$ es una raíz de $f$ y una raíz de la derivada de $f$ .

Esto es lo que no entiendo -- ¿Cómo demostrar con respecto a la derivada?

Esta era mi prueba hasta ahora:

Supongamos que $(X-a)^2$ es un divisor pero $a$ no es una raíz, por lo tanto:

$f = q*(X-a)^2 + r$ donde $r = 0$ . También $f(a) \neq 0$

Ahora, si comprobamos $a$ :

$f(a) = q(a)(a-a)^2 + 0 = q(a)*0^2 \neq 0$

$0 \neq 0$

Eso es una contradicción, por lo tanto a tiene que ser $a$ raíz de $f$

Answer 1

Sea $(X-a)^2$ es un divisor de $f$ entonces $f=(X-a)^2q$ para algún polinomio $q$ . Ahora por supuesto $f(a)=0$ . También $$f'(x)=2(X-a)q+(X-a)^2q'\implies f'(a)=0.$$

Ahora a la inversa, supongamos que $a$ es una raíz de $f$ y una raíz de $f'$ . En $f(a)=0$ tenemos $f=(X-a)q$ y por lo tanto $$f'=q+(X-a)q'$$ En $f'(a)=0$ vemos que $$0=f'(a)=q(a)$$ así $q=(X-a)p$ para algún polinomio $p$ Por lo tanto $$f=(X-a)q=(X-a)^2p$$

Answer 2

Supongamos que

$(X - a)^2 \mid f(X) \in F[X]; \tag 1$

entonces

$\exists g(X) \in F[X], \; f(X) = (X - a)^2 g(X); \tag 2$

tenemos

$f(a) = (a - a)^2 g(a) = 0g(a) = 0, \tag 3$

y

$f'(X) = 2(X - a)g(X) + (X - a)^2 g'(X), \tag 4$

de donde

$f'(a) = 2(a - a)g(a) + (a - a)^2g'(a) = 2 \cdot 0 \cdot g(a) + 0 \cdot g'(a) = 0; \tag 5$

así $a$ es una raíz tanto de $f(X)$ y $f'(X)$ .

Por el contrario, si

$f'(a) = f(a) = 0, \tag 6$

entonces

$\exists g(X) \in F[X], \; f(X) = (X - a)g(X), \tag 7$

de donde

$f'(X) = g(X) + (X - a)g'(X); \tag 8$

entonces

$g(a) = g(a) + (a - a)g'(a) = f'(a) = 0; \tag 9$

lo que a su vez implica

$\exists h(X) \in F[X], \; g(X) = (X - a)h(X), \tag{10}$

para que

$f(X) = (X - a)g(X) = (X - a)^2h(X), \tag{11}$

y concluimos que

$(X - a)^2 \mid f(X). \tag{12}$