Ayuda para la distribución del movimiento browniano

Question

Si $X = \frac{B_1 - B_3 + B_2}{\sqrt{2}}$ Dónde $B_t$ es un movimiento browniano en el tiempo $t$ .

Y quiero encontrar la distribución de $X$ ¿Cómo lo haría?

$E[X] = 0$ es bastante sencillo.

Para variar, sin embargo, me encuentro con dificultades en el tratamiento:

$Var(B_1 - B_3 + B_2) = Var( (B_1-B_3) + B_2)) = Var(B_1 - B_3) + Var(B_2) + 2Cov(B_1-B_3,B_2)$

Pero $Var(B_1 - B_3)$ no está definido... ¿verdad?

¿Hay algo que me estoy perdiendo, otro método para calcular la varianza de $X$ ? Editar:

$Var(X) = \frac{1}{2} [ Var(B_1 - B_3 + B_2)] = 0.5 [ Var( (B_1-B_3) + B_2))] = 0.5[Var(B_1 - B_3) + Var(B_2) + 2Cov(B_1-B_3,B_2)] = 0.5 [ Var(B_1) + Var(B_3) + Var(B_2) + 2Cov(B_1-B_3,B_2) -2Cov(B_1,B_3)]= 2 ?$

Answer 1

Usted tiene que $X = \frac{B_1 - B_3 + B_2}{\sqrt{2}}$ . Desde $B$ es un movimiento browniano, sabes que $B_3-B_2$ y $B_1$ son independientes. Así,

$$\text{var}(X) = \frac{1}{2}\text{var}(B_1-B_3+B_2)=\frac{1}{2}\text{var}(B_1-(B_3-B_2))=\frac{1}{2}(\text{var}(B_1)+\text{var}(B_3-B_2)).$$

Por definición, los incrementos $B_s-B_t$ se distribuyen normalmente con una distribución $N(0,s-t)$ ( $s\geq t$ ), de donde $\text{var}(B_s-B_t) = s-t$ . Completar el cálculo para $\text{var}(X)$ se deduce que $$\text{var}(X) = \frac{1}{2}(\text{var}(B_1)+\text{var}(B_3-B_2)) = \frac{1}{2}(1+1)=1.$$

(Recordemos que $B_1 = B_1-B_0$ y, por tanto $\text{var}(B_1) = 1-0=1$ )