método correcto para resolver diferenciales

Question

Considerando una ecuación: $$ 4y''-12y'+9y= e^{5t}+e^{3t}$$

Resolución de la ecuación homogénea

$$ y_h= c_1e^{1.5t}+c_2te^{1.5t}$$

Ahora para encontrar la solución general de la ecuación dada, ¿Se puede resolver por el método siguiente? $$ 4y_1''-12y_1'+9y_1= e^{5t}$$ y

$$4y_2''-12y_2'+9y_2= e^{3t}$$ Entonces $$y_1 =Ae^{5t}$$ y $$y_2 =Be^{3t}$$

Haciendo la primera y la segunda derivada de y1 e y2.

y sustituyendo en la ecuación inicial.

$$A=\frac{1}{49}$$ y $$ B = \frac{1}{9}$$

Entonces la solución geral de la ecuación es: $$ y(t) =c_1e^{1.5t}+c_2te^{1.5t}+\frac{1}{49}e^{5t}+\frac{1}{9}e^{3t}$$

¿Es este un método correcto para resolver? ¡¡Gracias!!

Answer 1

Sí, su solución es correcta. La ecuación dada es una ecuación diferencial de segundo orden, lineal, no homogénea, con coeficientes constantes. La solución viene dada por

$$y_g(t)=y_h(t)+y_p(t)$$

donde $y_g(t)$ es la solución general, $y_h(t)$ es la solución homogénea, y $y_p(t)$ es la solución particular. Primero encontró la solución homogénea como

$$y_h(t)= c_1e^{1.5t}+c_2te^{1.5t}$$

entonces para encontrar la solución particular hay que resolver

$$ 4y''-12y'+9y= e^{5t}+e^{3t}$$

a partir del cual aplicó el principio de superposición y el método de los coeficientes indeterminados . Para encontrar la solución particular, hay que resolver

$$4y''-12y'+9y= e^{5t}$$

y

$$4y''-12y'+9y= e^{3t}$$

y luego utilizar el principio de superposición para sumar estas dos soluciones. Por tanto, la solución particular adoptará la forma

$$y_p(t)=y_{p_1}(t)+y_{p_2}(t)$$

El método de los coeficientes indeterminados forma dos conjeturas $$y_{p_1}(t)=Ae^{5t},\quad y_{p_2}(t)=Be^{3t}$$

a partir de la cual se pueden relacionar los coeficientes para hallar

$$A=\frac{1}{49},\quad B=\frac{1}{9}$$

lo que implica que la solución particular es

$$y_p(t)=y_{p_1}(t)+y_{p_2}(t)=Ae^{5t}+Be^{3t}=\frac{1}{49}e^{5t}+\frac{1}{9}e^{3t}$$

por lo que la solución general viene dada por

$$y_g(t)=y_h(t)+y_p(t)=c_1e^{1.5t}+c_2te^{1.5t}+\frac{1}{49}e^{5t}+\frac{1}{9}e^{3t}$$