Ecuación diofantina : dos productos de factores lineales difieren en una constante

Question

Hace poco, un amigo me hizo la siguiente pregunta : encontrar todo $a,b,c,a',b',c',k \in {\mathbb Z}$ con $k\neq 0$ tal que la identidad

$$ (X-a)(X-b)(X-c)+k=(X-a')(X-b')(X-c') $$

mantiene en ${\mathbb Z}[X]$ . ¿Alguien tiene una idea? Tenga en cuenta que hay una cierta invariancia de traslación para las soluciones : $(a,b,c,a',b',c',k)$ es una solución si $(a+m,b+m,c+m,a'+m,b'+m,c'+m,k)$ es, para cualquier $m\in{\mathbb Z}$ .

Answer 1

No son todas las soluciones, sino una familia infinita. Por ejemplo, para cualquier número entero $x,y,z$ Toma $a = xyz$ , $b = -x(x+y)z$ , $c = -y(x+y)z$ , $k = x^2 y^2 (x+y)^2 z^3$ . Tenga en cuenta que $ab + ac + bc = 0$ . Si $p(X) = (X-a)(X-b)(X-c)$ tenemos $p(0) = -x^2 y^2 (x+y)^2 z^3$ y $p'(0) = 0$ y luego $$p(X) + k = X^2 (X + (x^2 + xy + y^2) z )$$

EDIT: El mismo valor de $(x^2 + x y + y^2) z$ puede ocurrir para diferentes $x,y,z$ así que esto produce diferentes soluciones con $a,b,c$ distinto. Por ejemplo, prueba $x,y,z = -3,8,1$ y $x', y', z' = -3,1,7$ obtenemos $$ (X+24)(X-15)(X+40) = (X+21)(X+42)(X-14)-2052$$

EDITAR: Que $q(a,b,c) = (X-a)(X-b)(X-c)$ por lo que desea resolver $q(a,b,c) +k = q(a',b',c')$ . Obsérvese que esto es cierto para algunos $k$ si $\dfrac{d}{dX} q(a,b,c) = \dfrac{d}{dX} q(a',b',c')$ y eso equivale a $$ \eqalign{a + b + c &= a' + b' + c'\cr ab + ac + bc &= a'b' + a'c' + b'c'\cr}$$ Dados dos números enteros $u,v$ podemos intentar resolver $$ \eqalign{a + b + c &= u\cr ab + ac + bc &= v\cr}$$ Eliminación de $c$ nos da $$ 3 (2a + b - u)^2 + (3 b - u)^2 = {4} u^2 - 12 v $$ Dado $u$ y $v$ la ecuación $3 y^2 + z^2 = 4 u^2 - 12 v$ tiene un número finito de soluciones enteras $(y,z)$ . Queremos soluciones en las que $z \equiv -u \mod 3$ (así $b = (z+u)/3$ es un número entero), y donde $y \equiv u - b \mod 2$ (así $a = (y+u-b)/2$ es un número entero).

Por ejemplo, con $u=79$ y $v = 1920$ hay $24$ soluciones enteras de $3 y^2 + z^2 = 1924$ . De estos, $12$ satisfacer $z \equiv - u \mod 3$ y todos estos satisfacen $y \equiv u - b \mod 2$ . La correspondiente $(a,b,c)$ son las seis permutaciones de $(15,24,40)$ y las seis permutaciones de $(12,31,36)$ . Por tanto, corresponden a $$ (X - 15)(X - 24)(X - 40) + k = (X - 12)(X - 31)(X - 36)$$ donde en este caso $k = 15\cdot 24 \cdot 40 - 12 \cdot 31 \cdot 36 = 1008$ .

El siguiente paso sería considerar esto en términos de factorización en $\mathbb Z[\sqrt{-3}]$ .