La función débilmente armónica es idénticamente cero

Question

Sea $ 1 < p < 2 $ y $ u \in W_0^{1,p}( \Omega) $ donde $ \Omega $ es un conjunto abierto suave de $ \mathbb{R}^N,\ N \geq 2. $ Supongamos que $$ \int_{\Omega} \nabla u \nabla \phi dx = 0,\ \forall\ \phi \in C_0^{\infty}( \Omega). $$ ¿Es cierto que $ u = 0? $

El uso de la aproximación de $ u $ mediante funciones suaves no es útil. Cualquier idea es bienvenida.

Answer 1

Esto es cierto para dominios acotados $\Omega$ con frontera lisa ( $C^1$ es suficiente también), como consecuencia de la invertibilidad del Laplaciano como mapa $$ \Delta : W^{1,p}_0(\Omega) \to W^{-1,p}(\Omega) $$ para todos $1<p<\infty.$ Éstas se derivan de las de Calderón y Zygmund $L^p$ estimaciones, y he escrito algunos detalles más e incluido las referencias pertinentes en esta respuesta .

Sin embargo, esto requiere maquinaria bastante pesada y, por desgracia, no creo que pueda evitarse. La necesidad de exigir cierta regularidad de la frontera la muestra Hajasz en el teorema 1 de su artículo Un contraejemplo a la $L^p$ Descomposición de Hodge ; allí construye un dominio acotado $\Omega \subset \Bbb R^2$ que satisface la condición del cono, junto con una función armónica no trivial $u$ que se encuentra en $W^{1,p}_0(\Omega)$ para todos $1 \leq p < \frac43.$ Esto sugiere que es necesario utilizar la regularidad de la frontera de una manera no trivial, por lo que un argumento de aproximación directa no funciona.