Historia de las soluciones fundamentales

Question

Tengo algunas preguntas sobre la historia de la PDE.

1. ¿Quién escribió por primera vez la fórmula para la solución del problema de Cauchy para la ecuación del calor que implica el núcleo de calor? He visto que se llama fórmula de Poisson. Si es cierto Poisson tiene una fórmula para cada una de las ecuaciones de calor, onda y Laplace.
2. ¿Quién es el descubridor de la fórmula análoga para la ecuación de ondas en 2 y 3 dimensiones? He visto que se llamaban tanto fórmula de Kirchhoff como fórmula de Poisson.
3. ¿Existe algún libro para consultar estas cuestiones? Tengo la Historia del análisis funcional de Dieudonne, pero no tiene mucho sobre EDP aparte de la ecuación de Laplace.

Answer 1

La pregunta 2 está cada vez más clara. Mis fuentes son Parseval artículo de 1800, la de Poisson memoria de 1819, el de Hadamard Conferencias sobre el problema de Cauchy en ecuaciones diferenciales parciales lineales (1923), y Baker and Copson's Teoría matemática del principio de Huygens (1939).

En página 133 de la citada memoria, Poisson da la fórmula tridimensional

$$ u(x,t) = t M_{x,t}u_0 + \partial_t (t M_{x,t}u_1); \qquad u_0(x) := u(x,0), \quad u_1(x) := \partial_tu(x,0), $$

donde $M_{x,t}g$ es la media de $g$ (definido en $\mathbb{R}^3$ ) sobre la esfera centrada en $x$ de radio $t$ . Luego pasa a demostrarlo y, por el método de la descendencia, deduce varios casos especiales, incluidas las fórmulas de 1 y 2 dimensiones. Así, la El caso 3D se debe a Poisson .

Más tarde, en 1882, Kirchhoff publicó una fórmula más general que expresaba $u(x,t)$ en términos de los valores, las derivadas normales y temporales de $u$ sobre una superficie cerrada arbitraria que contenga $x$ justificando así matemáticamente el principio de Huygens. El análogo de la fórmula de Kirchhoff de 1882 para 2 dimensiones fue publicado por Volterra en 1894. Estos desarrollos estaban estrechamente relacionados con los descubrimientos de soluciones fundamentales de la ecuación de Helmholtz en 3 dimensiones por Helmholtz en 1859, y para 2 dimensiones por Weber en 1869.

En cuanto a quién fue el primero en descubrir el análogo bidimensional de la fórmula de Poisson de 1819, cuando acuña el término "método de descenso", Hadamard señala

Crear una frase para una idea que es meramente infantil y que se ha utilizado desde los primeros pasos de la teoría es, debo confesarlo, bastante ambicioso;

y cita el citado artículo de Parseval de 1800, la memoria de Poisson de 1819 y el libro de Duhem de 1891. Después de dar la fórmula 2D sobre página 141 de sus memorias, Poisson cita el artículo de Parseval, y dice algo así como "Parseval integró anteriormente esta ecuación pero de una manera menos simple". Parseval parece dar la fórmula en página 519 de su artículo, pero no entiendo lo suficiente como para decir que la fórmula está completa. En particular, no parece haber fórmulas explícitas para las cantidades Q y Q'. Así que la El caso 2D puede decirse debido a Parseval-Poisson .

Answer 2

Se trata de una actualización de la pregunta 1. Como observó Willie, en su memoria de 1819 Poisson estudia no sólo la ecuación de ondas sino también la ecuación del calor de página 143 encendido, y alcanza el núcleo de calor en página 145 . Sin embargo, sorprendentemente, en la memoria original de Fourier donde derivó la ecuación del calor y dio un caso convincente de la importancia de las series trigonométricas, el núcleo del calor aparece en página 454 para 1D, en página 475 para 1D en la forma habitual tal como se presenta hoy, y en página 479 para 3D. Las memorias de Fourier se publicaron en 1822 después de un largo retraso, y se dice que las memorias son esencialmente el trabajo de Fourier de 1811 que ganó un premio matemático, que era a su vez una continuación de su trabajo presentado en 1807, y resumido por Poisson en 1808. Dicho esto, lo más sorprendente es que aparece un nuevo protagonista en la historia. Después de dar el núcleo de calor 1D en página 454 Fourier dice algo así como

Esta integral, que contiene una función arbitraria, no se conocía cuando comenzamos nuestras investigaciones sobre la teoría del calor, que se presentaron en el Instituto de Francia en diciembre de 1807. Fue dada por el Sr. Laplace, en el volumen VI de de las Mémoires de l'école polytechnique y aquí sólo hemos aplicado sus resultados.

Poisson también menciona a Laplace en página 148 y afirma que su resultado en 3D era una extensión directa de la fórmula de Laplace. Encontré el volumen 6 de Revista de la Escuela Politécnica pero no hay nada de Laplace, y además el diario es de 1806. Me preguntaba si des Mémoires es diferente de Revista pero hojeando el libro de Fourier encontré que en página 513 vuelve a citar a Laplace, pero ahora dice volumen 8. Entonces, ¡es el volumen 8! Se publica en 1809, y el núcleo de calor aparece en su página 241 ¡!

Answer 3

En cuanto a la pregunta 2: Lars Garding da crédito a G.Tedone, en un Papel de 1898 en el primer volumen de (la tercera serie de) Annali di Matematica, para la fórmula de solución general de la ecuación de onda. También Hadamard la llama fórmula de Tedone.