¿De cuántas maneras puede tocar un batería con una cantidad variable de extremidades?

Question

Estoy estudiando la cantidad de combinaciones posibles de tiradas de un solo golpe utilizando una cantidad variable de extremidades.

Utilicemos estas cartas como referencia

• R es mano derecha.
• L es mano izquierda.
• r es pie derecho.
• l es el pie izquierdo.

Existe una variación para una extremidad: R. Hay dos variaciones para dos extremidades: RL
y LR. Hay seis variantes para tres extremidades:

• RLr
• RrL
• LRr
• LrR
• rRL
• rLR

No voy a enumerarlas todas, pero hay 24 combinaciones para cuatro extremidades. Aquí está la primera:

• RLrl
• RLlr
• RrLl
• RrlR
• RlLr
• RlrL

Esto nos lleva a los siguientes ratios: $1:1$ , $2:2$ , $3:6$ y $4:24$ . Eso me dejaría creer que el siguiente par de números para continuar el patrón sería $5:120$ .

¿Existe una ecuación que pueda utilizar para resolver el número de variaciones utilizando diferentes números de extremidades utilizando sólo una extremidad una vez?

Answer 1

Usted está tratando de contar, para cada número fijo $n$ el número de maneras de ordenar los números $1, 2, 3, \dots, n$ en una secuencia, utilizando cada número exactamente una vez. Se denominan permutaciones de $1, 2, 3, \dots, n$ . El número de permutaciones de $1, 2, 3, \dots, n$ se llama " $n$ factorial", escrito $n!$ y es igual a $n! = (n) (n-1)(n-2) \cdots (2) (1)$ . La razón es que usted tiene $n$ opciones para ocupar el primer puesto, $n-1$ opciones para cubrir el segundo puesto, etc.

Answer 2

El patrón que has publicado hasta ahora coincide:

F(1) = 1
F(X) = X * F(X-1)

Answer 3

El problema con todas las otras respuestas que has recibido hasta ahora, es que sólo tienes cuatro extremidades . Basándome en las reglas que has dado a entender en tu pregunta, no veo ninguna razón para suponer que sólo hay una manera para la primera variación. Podría, por ejemplo, hacer "R", pero también podría hacer "L", o "l", o "r" --así que en este caso, cuento cuatro posibilidades, ni una.

Del mismo modo, para las dos extremidades, parece ignorar los pies, pero no da ninguna razón para ello. Para tres miembros, ignora el pie izquierdo.

En el caso de utilizar los cuatro miembros, con la excepción del cuarto resultado (que parece ser un error tipográfico), todos los resultados que has enumerado utilizan "R", "L", "r", "l" exactamente una vez, pero parece que el orden es importante, al menos si cuentas 24 resultados como afirmas.

Por último, pregunta:

¿Existe una ecuación que pueda utilizar para resolver el número de variaciones utilizando diferentes números de miembros? utilizar una sola extremidad una vez ? (el subrayado es mío)

Esto es claramente problemático: si sólo puedes utilizar cada extremidad una vez, es imposible tener una variación que utilice más de cuatro extremidades, a menos que no seas humano, o tengas extremidades adicionales, o estés contando algún otro apéndice como una extremidad. Así que tienes que pensar qué quieres decir realmente con esta afirmación.

Por si sirve de algo, cuento 4 variaciones para un solo golpe en el tambor, 12 variaciones para dos golpes, 24 variaciones para tres golpes y 24 variaciones para usar las cuatro extremidades. Las variaciones con cinco o más golpes no son posibles: no tienes cinco extremidades para usar.