He oído que para mejorar el término de error en el Primer Número de Teorema, necesitamos mejores estimaciones sobre el cero de la región. También he escuchado que la mejor posible término de error viene asumiendo la Hipótesis de Riemann. Pero, ¿puede alguien explicar de forma intuitiva por qué es así?
Respuestas
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Intuitivamente, podemos reducir el término de error para el primer número de el teorema de una declaración acerca de cómo de lejos a la izquierda podemos tomar una línea antes de llegar a un cero de la de Riemann zeta función. Para intentar ilustrar esto, vamos a ir a través de los ojos de un ave prueba del teorema de los números primos.
La prueba se basa en la comprensión de la analítica de las propiedades de la de Riemann zeta función de $\zeta(s)$. En particular, el enfoque clásico para demostrar el Teorema de los números Primos es entender el crecimiento de $\Lambda(n)$, la de von Mongoldt función, que es $\log p$ si $n = p^k$ $p$ un primer y $0$ lo contrario.
Uno puede mostrar que $\displaystyle \psi(x) = \sum_{n \leq x} \Lambda(n)$ se comporta como $\pi(x) \log x$, y para demostrar el Teorema de los números Primos es similar a la de demostrar que el $\psi(x) \sim x$. La relación con el $\zeta(s)$ es el hecho de que $$ -\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} = \sum_{n \geq 1} \frac{\Lambda(n)}{n^s},$$ así que el von Mongoldt función aparece como los coeficientes de una de Dirichlet de la serie, cuya analítica de la información contenida en la Riemann zeta función. Para obtener esa información, realizar una transformación integral, cuyo efecto es tirar la primera de las $x$ de los coeficientes. Este es el Mellin transformar $$ \psi(x) = \frac{1}{2\pi i} \int_{2 - i \infty}^{2 + i\infty} \left( - \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} \right)\frac{x^s}{s} ds,$$ para $x$ no enteros.
Ahora se reduce a utilizar el teorema de los residuos y la comprensión de la convergencia. Vamos a considerar la primera y renunciar a la última.
Como nos movemos en la línea de la integración a la izquierda, recoger los residuos de los ceros de $\zeta(s)$. El más grande es cero en $s = 1$, que tiene el efecto de aportar una $x$. Por cada cero de $\zeta(s)$, lo que voy a denotar por $\rho$, obtenemos la contribución adicional. En total, obtendríamos $$ \psi(x) = x - \sum_{\rho} \frac{x^\rho}{\rho} - \frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)} - \frac{1}{2} \log( 1 - x^{-2}).\tag{1}$$
Así que si hay un cero de la parte real $\rho$, entonces no es una contribución al crecimiento de $\pi(x)\log x$ orden $x^\rho$. La hipótesis de Riemann establece que el único cero de la real mayor que $1/2$ es de $1$, lo que significa que el crecimiento secundario términos contribuir sólo las cosas en el orden de $x^{1/2}$. En particular, tendríamos que $\lvert\pi(x)\log x - x\rvert \ll x^{1/2 + \epsilon}$ cualquier $\epsilon > 0$, y donde el $\epsilon$ proviene del hecho de que estamos sumando muchos ceros (y la suma contribuye algo así como el crecimiento logarítmica).
La gran idea es a partir de la ecuación de $(1)$ por encima.Tener ceros con gran parte real de dar mayor "error" en el primer número teorema.
Markus Schepke
Puntos
522
Es difícil capturar una intuición, pero los autores de este libro hacer un gran punto de considerar la zeta ceros como el "espectro de los números primos", lo que significa que la distribución de los números primos es codificada en el zeta ceros.
Más específicamente, el más estrecho de los ceros de permanecer a la línea crítica, el más uniformemente distribuidos que son. Y el RH dice que los números primos son tan uniformemente distribuidos como se podría esperar de ella - la $\frac{1}{2}$ en la parte real de los ceros se traduce directamente en el exponente $O(x^{1/2+\epsilon})$ en el término de error. Pensar de esa manera: queremos empujar el error de enlazado más cerca y más cerca de la línea crítica, pero no podemos empujar más allá de cualquier cero. Así que lo mejor que podemos aspirar es a tener un épsilon de la línea crítica. Mientras tanto, nuestros mejores términos de error se basan en estimaciones de la cero regiones libres.
Si usted necesita un ángulo diferente, escribí un artículo explicando cómo el RH nos permite interpretar los números primos como el aleatorio de lanzar una moneda.
