El problema del foso de cuaterniones

Question

"No se puede caminar hasta el infinito sobre la recta real si se utilizan pasos de longitud y pasos en los números primos. Esto no es más que una reafirmación del resultado clásico de que hay huecos arbitrariamente arbitrariamente grandes en los números primos".

Así comienza el documento Gethner, Wagon y Wick, "Un paseo por los Primados de Gauss" ( American Mathematical Monthly 105 (4): 327-337 (1998).) Explican que se desconoce si se puede caminar hasta el infinito sobre los primos de Gauss con pasos de longitud acotada. Se dice que Paul Erdos conjeturó que esto era posible ("Una conjetura de Paul Erdos sobre los primos de Gauss". Matemáticas. Comp 24 : 221-223 (1970); PDF ). Más tarde se dice que Erdos conjeturó lo contrario: que no existe tal $\infty$ es posible [GWW98, p.327]. Esto se conoce como Problema del foso gaussiano aparentemente aún sin resolver.

Mi pregunta es:

¿Existe una Problema del foso de cuaterniones ? ¿Está resuelto? ¿Se abre? ¿Es más fácil o más difícil que el Problema del Foso de Gauss?

Definir un cuaternión distinto de cero $q = a + bi + cj + dk$ como prime primo si (a) es un Cuaternión de Hurwitz (todos los componentes enteros, o todos los componentes semienteros) y (b) su norma $a^2 + b^2 +c^2 + d^2$ es primo. (La parte (b) es una consecuencia de la incapacidad de factorizar $q$ ; véase, por ejemplo, Teorema 15 en "A Proof of Lagrange's Four Square Theorem Using Quaternion Algebras". Drew Stokesbary, 2007; PDF ).

¿Se puede "caminar hasta $\infty$ " sobre los primos cuaterniones utilizando pasos de longitud acotada?

Quizás sea relevante aquí Teorema de los cuatro cuadrados de Langrange que establece que cualquier número natural puede representarse como la suma de cuatro cuadrados.

Hago esta pregunta con relativa ingenuidad, y agradezco que se me ilumine.

Answer 1

Teniendo un paseo infinito de longitud de paso acotada en los cuaterniones (o en $\mathbb Z^k$ en la versión de Gerry), nos da una secuencia de primos $p_1,p_2\dots$ con $p_{k+1}-p_k=O(\sqrt{p_k})$ . Sin embargo, el mejor resultado incondicional que tenemos hasta ahora sobre los huecos primos es $O(p_k^{0.525})$ por Baker, Harman y Pintz. Así que todos estos problemas están abiertos en general.

Dicho esto, la heurística que funciona para los primos gaussianos casi siempre puede trasladarse a un entorno más general. Un artículo famoso sobre el tema es el de Vardi "Primera percolación" . Allí se menciona que el modelo de percolación puede extenderse al caso general de primos representados por formas cuadráticas, primos cuaterniones, etc. (donde se pueden hacer las mismas predicciones), aunque esto no está escrito en ninguna parte.