Derivación de la condición para la ecuación circular general en el plano complejo

Question

Se puede demostrar que cualquier línea o círculo se puede escribir en la forma general

$$ Az\bar{z}+\bar{B}z+B\bar{z}+D=0 $$

donde $A, D$ son reales y $B, z$ son complejas.

Sin embargo, también se puede demostrar que para que esta ecuación sea una circunferencia, tiene que satisfacer $B\bar{B}-AD>0$ . No estoy seguro de cómo derivar esta condición, pero mi conjetura es que tiene algo que ver con el discriminante complejo. La ecuación anterior probablemente se puede resolver para $| z |$ y la fórmula generalizada es probablemente algo como

$|z|=\frac{-(?)\pm \sqrt{|B|^2-4AD}}{2A}$

Le agradecería su opinión.

Answer 1

Ampliemos la otra ecuación para una circunferencia expresando que existe un centro $z_0$ y un radio $R>0$ tal que:

$$|z-z_0|=R \ \ \iff \ \ |z-z_0|^2=R^2 \ \ \iff (z-z_0)\overline{(z-z_0)}=R^2$$

$$\tag{1}\iff \ \ z \bar z - \bar{z_0}z - z_0\bar{z} + (|z_0|^2-R^2)=0$$

Identificar (1) con su expresión, escrita bajo la forma:

$$z\bar{z}+\frac{\bar{B}}{A}z+\frac{B}{A}\bar{z}+\frac{D}{A}=0$$

obtenemos, en particular

$$\tag{2}z_0=-\dfrac{B}{A}$$

y

$$|z_0|^2-R^2=\frac{D}{A}$$

$$\tag{3}\implies \ \ |z_0|^2-\frac{D}{A} = R^2 > 0.$$

Introduciendo en (3) la expresión de $z_0$ obtenido en (2) da

$$\dfrac{B\bar{B}}{A^2}-\frac{D}{A} > 0 \ \ \iff \ \ B\bar{B}-AD>0.$$

Answer 2

Si $A=0$ la ecuación se reduce a $\;2 \operatorname{Re}(\bar B z)+D=0\;$ que es una recta en el plano complejo.

En caso contrario, dividir por $A \ne 0$ y con $b = \frac{B}{A}, D=\frac{D}{A}$ la ecuación se convierte en:

$$ z\bar{z}+\bar{b}z+b\bar{z}+d=0 \;\iff\; (z+b)(\bar z + \bar b) - b \bar b + d = 0 \;\iff\; |z+b|^2 = |b|^2 -d$$

Esta última tiene solución si el lado derecho es no negativo. $\;|b|^2 -d \ge 0\;$ y el conjunto solución es un círculo propio de radio $\;\sqrt{|b|^2 -d}\;$ centrado en $\;-b\;$ si el lado derecho es estrictamente positivo $\;|b|^2 -d \gt 0\,$ .

Answer 3

Sugerencia: Conecte $z = x+iy$ y completa el cuadrado.