La pregunta está en el título y es fácil de enunciar, pero permítanme intentar dar algunos detalles y explicar por qué me interesa. En primer lugar, un descargo de responsabilidad: si la respuesta no está ya en algún lugar de la literatura, entonces podría ser bastante difícil; estoy haciendo esta pregunta aquí porque MO tiene la suerte de tener algunos de los principales expertos en grupos hiperbólicos lacunares como participantes activos.
Definiciones
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Un grupo $\Gamma$ es nohopfiano si existe un epimorfismo $\Gamma\to\Gamma$ con núcleo no trivial.
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Un grupo $\Gamma$ es hiperbólico lacunar si algún cono asintótico de $\Gamma$ es un $\mathbb{R}$ -árbol.
Para motivar esta segunda definición, obsérvese que un grupo es hiperbólico si y sólo si cada cono asintótico es un $\mathbb{R}$ -árbol.
Los grupos hiperbólicos lacunares se definieron e investigaron en un artículo de Ol'shanskii, Osin y Sapir (aunque ya existían ejemplos de grupos hiperbólicos lacunares que no son hiperbólicos--creo que el primero fue construido por Simon Thomas). Construyen ejemplos que muestran un comportamiento muy poco hiperbólico, incluyendo grupos de torsión y monstruos de Tarski.
Pregunta
Una vez más:-
¿Existe un grupo hiperbólico lacunar no hopfiano?
Motivación
Mi motivación proviene de la lógica y del siguiente hecho.
Proposición: Un grupo hiperbólico lacunar es un límite directo de grupos hiperbólicos (que satisfacen cierta condición de inyectividad-radio).
Es decir, los grupos hiperbólicos lacunares son grupos límite sobre la clase de todos los grupos hiperbólicos. (Nota: la condición de inyectividad-radio significa que hay otros grupos límite sobre grupos hiperbólicos que no son hiperbólicos lacunares. También me interesan). Sela ha demostrado que los grupos límite sobre un fijo grupo hiperbólico $\Gamma$ (y sus subgrupos) dicen mucho sobre las soluciones a ecuaciones sobre $\Gamma$ . Por ejemplo, su resultado de que una secuencia de epimorfismos de $\Gamma$ -acaba estabilizándose (lo que implica que todos los grupos $\Gamma$ -son Hopfianos) tiene la siguiente consecuencia.
Teorema (Sela): Los grupos hiperbólicos son ecuacionalmente noetherianos. Es decir, cualquier conjunto infinito de ecuaciones es equivalente a un subsistema finito.
A raíz del trabajo de Sela tenemos una comprensión bastante detallada de las soluciones a las ecuaciones sobre un grupo hiperbólico de palabras dado $\Gamma$ . Pero sigue siendo de gran interés tratar de entender los sistemas de ecuaciones sobre todos grupos hiperbólicos.
El comportamiento patológico en grupos hiperbólicos lacunares debería traducirse en resultados patológicos sobre sistemas de ecuaciones sobre grupos hiperbólicos. Una respuesta positiva a mi pregunta implicaría que la clase de los grupos hiperbólicos no es ecuacionalmente noetheriana. Y eso sería muy interesante.
Nota: Este documento de Denis Osin ya establece una conexión entre las ecuaciones sobre un único grupo hiperbólico lacunar y las ecuaciones sobre la clase de todos los grupos hiperbólicos.
Esta pregunta suscitó magníficas respuestas de Yves Cornulier y Mark Sapir, así como excelentes comentarios de Denis Osin. Permítanme aclarar rápidamente mis objetivos al responder a la pregunta, e intentar resumir cuál parece ser el estado de los conocimientos. Espero que alguien me corrija si hago alguna conjetura injustificada.
Mi motivación vino de la teoría de ecuaciones sobre la clase de todos los grupos (palabra-)hiperbólicos. A estos efectos, no es importante encontrar realmente un grupo hiperbólico lacunar no hopfiano; basta con que sea un límite no hopfiano de grupos hiperbólicos. (Es decir, la condición de radio de inyectividad de la proposición anterior puede ignorarse). Yves Cornulier dio un ejemplo de un límite de grupos virtualmente libres (en particular, hiperbólicos) que no es hopfiano. De ello se deduce que la clase de grupos hiperbólicos de palabras no es ecuacionalmente noetheriana, como yo esperaba.
[Nota: He optado por aceptar la respuesta de Yves. La respuesta de Mark es igualmente digna de aceptación].
Evidentemente, las patologías de los grupos de Yves derivan de la torsión -la clase de grupos libres es ecuacionalmente noetheriana- y hay algunas razones para esperar que la torsión cause problemas, así que pedí en un comentario ejemplos sin torsión. Me los proporcionó Denis Osin, que se refirió a un papel de Ivanov y Storozhev. Por lo tanto, también tenemos que la clase de todos los grupos hiperbólicos libres de torsión no es ecuacionalmente noetheriana.
Volvamos ahora a la pregunta del título: ¿qué pasa si necesitamos un grupo hiperbólico lacunar real que no sea hopfiano? En primer lugar, parece muy probable que tal cosa exista. Como dice Mark, "una respuesta corta es "¿por qué no?"". Más formalmente, Denis afirma en un comentario que el subespacio del espacio de grupos marcados formado por grupos hiperbólicos lacunares es comeagre en el cierre del subespacio de grupos hiperbólicos. Esto formaliza la idea de que los grupos hiperbólicos lacunares no son particularmente especiales entre los límites de los grupos hiperbólicos.
Mark también sugirió dos posibles enfoques para construir un grupo hiperbólico lacunar no hopfiano; sin embargo, en un comentario, Denis puso en duda que uno de estos enfoques funcione. En resumen, me siento bastante seguro al concluir que actualmente no se conoce la construcción de un grupo hiperbólico lacunar no hopfiano, aunque es de esperar que se pueda encontrar con un poco de trabajo.
