¿Existe alguna forma de hallar el coeficiente de la variable específica en una expansión binomial?

Question

Si en un problema se pide hallar el coeficiente de una variable, digamos, $x^2$ , en una expansión binomial grande, ¿hay alguna forma de resolver sin hacer toda la expansión (yo lo hago con el Triángulo de Pascal / Teorema del Binomio). Por ejemplo, en este problema

El coeficiente de $x^2$ en la expansión de $(\frac{1}{x} + 5x)^8$ es igual al coeficiente de $x^4$ en la expansión de $(a+5x)^7$ , $a$ es un número real. Halla el valor de $a$ .

Lo amplío y obtengo respuestas diferentes en los distintos intentos. No estoy seguro de cuál es el mejor método para proceder. ¡Si alguien me pudiera ayudar se lo agradecería mucho!

Answer 1

El teorema del binomio dice que $$ \left(\frac1x + 5x\right)^8 = \sum_{i = 0}^8\binom8i\frac{1}{x^i}(5x)^{8-i}\\ (a + 5x)^7 = \sum_{j = 0}^7\binom7ja^j(5x)^{7-j} $$ Dado que buscamos el $x^2$ término en la primera suma, eso sólo ocurre cuando $i = 3$ . Para la segunda suma nos interesa el $x^4$ término que sólo se da cuando $j = 3$ . Obtenemos $$ \binom83\frac1{x^3}(5x)^5 = 56\cdot 5^5x^2\\ \binom73a^3\cdot(5x)^4 = 35a^3\cdot 5^4x^4 $$ Ahora iguala los dos coeficientes y resuelve para $a$ .

Answer 2

Es más fácil si encuentras el coeficiente de $x^{10}$ en $(1+5x^2)^8$ que es el mismo que el coeficiente de $x^5$ en $(1+5x)^8$ esto es $$ \binom{8}{5}\cdot 5^5=\binom{8}{3}\cdot 5^5 $$ El coeficiente de $x^4$ en la expansión de $(a+5x)^7$ es $$ \binom{7}{4}\cdot a^3\cdot 5^4=\binom{7}{3}\cdot a^3\cdot 5^4 $$ Ahora la ecuación es fácil.

Answer 3

Para eso sirve exactamente la fórmula binomial.

$$(a+b)^n = \sum_{i=0}^n {n \choose i} a^ib^{n-i}$$

Te mostraré cómo hacer la primera. Empieza por conectar $a= 1/x$ y $b = 5x$ y $n=8$ y simplificar:

$$(1/x+5x)^8 = \sum_{i=0}^8 {8 \choose i} (1/x)^i(5x)^{8-i} = \sum_{i=0}^8 {8 \choose i} 5^{8-i} \frac{x^{8-i}}{x^i} = \sum_{i=0}^8 {8 \choose i} 5^{8-i} x^{8-2i}.$$

Es la suma de nueve términos, uno por cada $i=0,1,\ldots, 8$ . Obsérvese que cada término tiene una potencia diferente de $x$ . Por lo tanto, el coeficiente de $x^2$ ocurre cuando $n-i = 2$ que es cuando $i=3$ . Esto significa que el coeficiente es

$${8 \choose 3} 5^{8-3} = {8 \choose 3} 5^{5} $$

que puedes simplificar.

Haz lo mismo para el otro binomio e iguala las dos respuestas y luego resuelve para $a$ .