Ecuación de un plano que pasa por 3 puntos

Question

Debería ser sencillo, pero tengo problemas.

Los tres puntos son $$A(1,-2,1)\qquad B(4,-2,-2)\qquad C(4,1,4)$$ El plano que obtengo es $$x+2y+z+6=0$$ pero obviamente no pasa por los tres puntos $A,B,C$ .

Answer 1

He aquí una forma de conseguir el avión necesario:

1. Obtener dos vectores diferentes que se encuentran en el plano, tales como $B-A=(3,0,-3)$ y $C-A=(3,3,3)$ .
2. Calcula el producto cruz de los dos vectores obtenidos: $(B-A)×(C-A)=(9,-18,9)$ . Este es el vector normal del plano, por lo que podemos dividirlo por 9 y obtener $(1,-2,1)$ .
3. La ecuación del plano es $x-2y+z+k=0$ . Para obtener $k$ sustituyendo cualquier punto y resolviendo, obtenemos $k=-6$ .

La ecuación final del plano es $x-2y+z-6=0$ .

Answer 2

Estás buscando una ecuación de la forma $ax+by+cz+d=0$ . Introduciendo las coordenadas de los puntos conocidos en esta ecuación genérica se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales: $$\begin{align} a-2b+c+d&=0 \\ 4a-2b-2c+d&=0 \\ 4a+b+4c+d&=0.\end{align}$$ Resuelve este sistema para los coeficientes desconocidos $a$ , $b$ , $c$ y $d$ . La solución no será única, pero si todo va bien (no te has equivocado y los puntos no son colineales) el espacio solución será unidimensional. Eso es de esperar, ya que se puede multiplicar la ecuación de un plano por cualquier constante distinta de cero para obtener otra ecuación para el mismo plano.

El sistema anterior puede escribirse como la ecuación matricial $$\begin{bmatrix}1&-2&1&1\\4&-2&-2&1\\4&1&4&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a\\b\\c\\d\end{bmatrix} = 0$$ de donde se deduce que los coeficientes de la ecuación del plano son las componentes de cualquier elemento no nulo del espacio nulo de la matriz de la izquierda. Las tres primeras columnas son sólo los $x$ -, $y$ - y $z$ -de los tres puntos, por lo que se puede hallar la ecuación del plano que pasa por tres puntos no colineales calculando el espacio nulo de $$\begin{bmatrix}x_1&y_1&z_1&1\\x_2&y_2&z_2&1\\x_3&y_3&z_3&1\end{bmatrix}.$$ De hecho, es posible hacerlo mejor y escribir directamente una ecuación del plano. Cualquier otro punto $(x,y,z)$ en el plano también genera una ecuación lineal en los coeficientes de la ecuación del plano. Para añadirla al sistema anterior sin reducir la dimensión del conjunto de soluciones, debe depender de las otras ecuaciones, es decir, debe ser una combinación lineal de las otras tres. Esto significa que para cualquier punto $(x,y,z)$ en el plano, las filas de $$A = \begin{bmatrix}x&y&z&1\\x_1&y_1&z_1&1\\x_2&y_2&z_2&1\\x_3&y_3&z_3&1\end{bmatrix}$$ deben ser linealmente dependientes, pero eso significa que $\det A=0$ es una ecuación del plano. Aplicando esta idea a los tres puntos de tu problema se obtiene la ecuación $9x-18y+9z-54=0$ que se convierte en $x-2y+z-6=0$ tras eliminar el factor común de $9$ . Este método es aplicable a una gran variedad de curvas y superficies.