Conmutante de matriz genérica con coeficientes polinómicos

Question

Sea $k={\mathbb Q}(X_1,X_2,X_3,\ldots X_{n^2})$ y $M={\cal M}_{n,n}(k)$ denotan el $k$ -de $n\times n$ matrices con coeficientes en $k$ .

Sea $A\in M$ se define por

$$A=\left( \begin{array}{ccclc} X_1 & X_2 & X_3 & \ldots & X_n \\ X_{n+1} & X_{n+2} & X_{n+3} & \ldots & X_{n+n} \\ X_{2n+1} & X_{2n+2} & X_{2n+3} & \ldots & X_{2n+n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ X_{(n-1)n+1} & X_{(n-1)n+2} & X_{(n-1)n+3} & \ldots & X_{n^2} \\ \end{array} \right)$$

y que $C=\lbrace B\in M | AB=BA\rbrace$ sea la conmutante de $A$ . Entonces $C$ es un $k$ -espacio vectorial. ¿Cuál es su dimensión (llámese $d$ ) ?

Es fácil ver que en $M$ las matrices $1,A,A^2,\ldots,A^{n-1}$ son linealmente independientes sobre $k$ . Si denotamos por $V$ el $k$ -espacio vectorial abarcado por esas matrices, entonces $V \subseteq C$ . Esto obliga a $d\geq n$ .

La conjetura obvia es entonces que $V=C$ y $d=n$ . Estoy atascado en este punto.

Answer 1

Utilizo la notación $A=[X_{i,j}]$ donde el $(X_{i,j})$ son indeterminadas conmutativas independientes sobre $\mathbb{Q}$ En otras palabras, el $(X_{i,j})$ son elementos de una extensión trascendental de $\mathbb{Q}$ y son mutuamente trascendentales sobre $\mathbb{Q}$ . Sea $k=\mathbb{Q}(X_{i,j})$ sea el campo cociente y $\overline{k}$ sea "su" cierre algebraico. $A$ se denomina matriz genérica sobre $\mathbb{Q}$ . Sea $\chi_A$ sea el polinomio característico de $A\in M_n(k)$ .

Proposición. $\chi_A$ es irreducible sobre $k$ y su grupo de Galois $G$ es $S_n$ .

Prueba. 1. Si consideramos una especialización $(X_{t;i,j})$ de la $(X_{i,j})$ es decir, una especialización $A_t$ de $A$ entonces el grupo de Galois $G_t$ de $\chi_{A_t}$ es un subgrupo de $G$ . (Es un corolario del teorema de irreducibilidad de Hilbert).

2. El grupo de Galois de $P_n(x)=x^n+ax^s+b$ es $S_n$ . cf. Osada: https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.tmj/1178228289

3. Para $A_t$ elegimos la matriz compañera de $P_n$ . Entonces $G_t=S_n$ y por lo tanto $G=S_n$ .

Conclusión. Dado que $\overline{k}$ es un campo perfecto, las raíces de $\chi_A$ son distintos y $C=k[A]$ tiene dimensión $n$ .