¿Son funtores exactos los coproductos?

Question

¿Son los coproductos funtores exactos a la izquierda o exactos a la derecha en general?

Sea k un anillo conmutativo (asosiativo unital) .
Concretamente en la categoría de k- álgebras es el tensor exacto. (Este no es el caso en la categoría de k-módulos, pero entonces de nuevo el tensor es no un coproducto del mismo).

Answer 1

Sea $A$ sea una categoría con colímites finitos. Denotemos por $\sqcup\colon A\times A\to A$ el functor que envía cada par $(a_1,a_2)$ de objetos a su coproducto $a_1\sqcup a_2$ . Entonces $\sqcup$ es adjunto por la izquierda al functor diagonal $\Delta\colon A\to A\times A$ entonces $\sqcup$ preservan todos los colímites y, por tanto, es exacta correcta.

Pero no son exactas en general. Por ejemplo, el functor $\sqcup\colon\mathbf{Set}\times\mathbf{Set}\to\mathbf{Set}$ no conserva los objetos terminales.

Answer 2

Para responder a su pregunta sobre la conmutativa $k$ -álgebras:

Si $A$ es una conmutativa $k$ -entonces $A \otimes_k - : \mathsf{CAlg}(k) \to \mathsf{CAlg}(k)$ es exacta por la derecha, y también es exacta por la izquierda cuando $k$ es un campo, o más generalmente cuando $A$ es plano sobre $k$ (es decir, como módulo). Pero, en general, el functor ni siquiera tiene que preservar los monomorfismos.