¿Tienen sentido la convergencia, los límites y la cerrazón en los espacios pseudométricos?

Question

A. Una secuencia ( $x_n$ ) en un espacio métrico $M$ se dice que converge al límite $x \in M$ si la distancia entre $x_n$ y $x$ converge a 0 a medida que $n$ llega hasta el infinito.

¿Qué ocurre cuando $M$ ¿es un espacio pseudométrico? Parece que toda sucesión convergente puede tener muchos límites, siempre que la distancia entre todos los límites sea 0. ¿Es esto cierto?

B. Un subconjunto $A$ del espacio métrico $M$ es cerrada si toda secuencia en $A$ que converge a un límite en $M$ tiene su límite en $A$ .

¿Tiene sentido esta definición en un espacio pseudométrico? Por ejemplo, ¿tiene sentido definir un subconjunto $A$ como "cerrada" si para cada secuencia en $A$ , todos sus límites en $M$ también están en $A$ ? ¿Se utiliza esta definición (u otra diferente) en algún sitio?

Answer 1

Ya puede pasar. Un ejemplo trivial : Si definimos una pseudo métrica sobre un conjunto no vacío $X$ como $d:X\times X\rightarrow \mathbb{R}$ donde $d(x,y)=0$ para todos $x,y\in X$ . Entonces cualquier secuencia en ella convergerá a más de un punto. Pero no estoy seguro de si es cierto para cada espacio pseudo-métrico.

Answer 2

Sí, es cierto, es decir, tu definición de topología coincide con la topología generada por todas las pseudobolas $B_r(x):=\{y:\,d(y,x)<r\}$ .

Para la segunda parte de su pregunta $A$ sea cerrado en el sentido de que contenga todos los límites (pseudométricos) de secuencias en $A$ y $x\notin A$ . Entonces existe $r>0$ s.t. el $r$ -pseudobola alrededor $x$ es disjunta de $A$ (de lo contrario, se construiría una secuencia de $x_j\in A$ , $\mathrm{dist}(x_j, x)=\frac{1}{j}$ convergiendo hacia $x$ ). Entonces, $X\setminus A$ está abierto. Del mismo modo se demuestra que si $X\setminus A$ es abierta (en la topología inducida por las pseudobolas abiertas), entonces $A$ contiene todos los límites de las secuencias.