Cálculo de la característica de Euler de una variedad mediante cohomología

Question

Por el teorema de fuga de Grothendieck, toda variedad $ X $ sobre un campo $ k $ tiene una secuencia cohomológica finita; es decir, tenemos una secuencia exacta

$$ 0 \to H^0(X, \mathcal{O}) \to \cdots \to H^r(X,\mathcal{O}) \to 0 \to 0 \to \cdots $$

donde cada grupo cohomológico $ H^i $ es un módulo sobre $ k $ . Establecer $ h^i = \dim H^i(X, \mathcal{O}) $ para cada $ i $ .

Ahora, por nulidad de rango, la suma alterna $ h^0 - h^1 + \cdots \pm h^r $ es sólo $ 0 $ .

Pero esta suma alternante final no es más que la característica de Euler de $ X $ - que obviamente no es cero para todas las variedades.

Estamos teniendo algunos problemas para encontrar el error (que probablemente es muy obvio) - cualquier pista sería apreciada.

Answer 1

Sí, el error resultó ser muy obvio...

Pensábamos que había una secuencia exacta larga como la de la pregunta que podíamos obtener a partir de los grupos de cohomología, pero fue un error (obviamente hay un complejo implicado, concretamente el inducido a partir de una resolución inyectiva $ 0 \to \mathcal{O} \to \mathcal{O}^0 \to \mathcal{O}^1 \to \cdots $ es decir $ 0 \to \Gamma(X,\mathcal{O}^0) \to \Gamma(X, \mathcal{O}^1) \to \cdots $ y nuestro error fue pensar que esto establecía una secuencia exacta natural de los cocientes $ H^i $ que no es el caso).