La cuestión se centra en la historia de un desarrollo de la teoría de grupos, pero el contexto más amplio se refiere al uso, a veces impreciso, del término "conjetura". Esto se remonta a trabajos más antiguos de Oystein Ore, con quien sólo tuve una leve interacción en 1963 como estudiante de posgrado en Yale (generosamente consideró adecuados mis conocimientos de alemán matemático).
En 1951, su breve artículo Algunas observaciones sobre los conmutadores publicado en Proc. Amer. Math. Soc. aquí . Planteó la cuestión de expresar cada elemento de un grupo dado como un conmutador, señalando al principio (pero sin un ejemplo concreto): "En un grupo, el producto de dos conmutadores no tiene por qué ser un conmutador, por lo que el grupo de conmutadores de un grupo dado no puede definirse como el conjunto de todos los conmutadores, sino sólo como el grupo generado por éstos". En el artículo demuestra que cada elemento de un grupo simétrico (no abeliano) finito o infinito es de hecho un conmutador, mientras que cada elemento de un grupo alterno es un conmutador en el grupo simétrico ambiente. Observa que para los grupos simples $A_n$ ( $n \geq 5$ ) la prueba puede adaptarse para mostrar que cada elemento es un conmutador dentro del grupo, añadiendo: "Es posible que un teorema similar valga para cualquier grupo simple de orden finito, pero parece que en la actualidad no disponemos de los métodos necesarios para investigar la cuestión."
Hubo muchos avances posteriores, estimulados en parte por los trabajos sobre la clasificación de los grupos simples finitos, que culminaron recientemente en un tratamiento definitivo: Liebeck-O'Brien-Shalev-Tiep, La conjetura de Ore . J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 12 (2010), no. 4, 939-1008. (Véase una discusión relacionada en una pregunta más antigua de MO 44269 .) Pero hay cierta distancia entre el comentario de Ore y la denominación "conjetura", así que me quedo con mi pregunta:
¿Cómo se convirtió la "conjetura de Ore" en una conjetura?
No se trata de un caso aislado en matemáticas, donde términos como "problema", "pregunta", "hipótesis (de trabajo)" tienden a transformarse en "conjetura". (Esto me ha ocurrido a mí, lo que por supuesto me parece bien cuando mi sugerencia tentativa resulta ser cierta). Un ejemplo que encontré como revisor es un artículo ruso de 1985 de D.I. Panyushev cuyo título se traduce al inglés como Una pregunta sobre la conjetura de Steinberg . La palabra rusa parecida a "hipótesis" también se utiliza en el sentido de "conjetura", como parece ser aquí; pero Panyushev proporciona contraejemplos. Como señalé en mi reseña, Steinberg planteaba explícitamente un "problema" en su discurso ante la ICM, no una conjetura, aunque probablemente esperaba una solución positiva.
AÑADIDO: Los comentarios de Igor me llevan a mencionar que otro artículo de 1951 trata más directamente que el de Ore los conmutadores en los grupos alternos simples finitos: Noboru Ito, Un teorema sobre el grupo alterno $\mathfrak{A}_n (n \geq 5)$ . Math. Japonicae 2 (1951), 59-60. Ambos artículos fueron reseñados por Graham Higman, que añadió la referencia "Cf. O. Ore ...." a su resumen de una línea del artículo de Ito. Dado que Ito hizo contribuciones sustanciales a la teoría de grupos finitos, quizá habría que referirse a la "conjetura de Ito" (aunque no la formulara de forma más explícita que Ore).
AFTERWORD: Formulé la pregunta en parte por curiosidad tras volver a leer el viejo artículo de Ore, con la esperanza de que hubiera alguna otra indicación en la bibliografía o al menos en los recuerdos individuales sobre cómo justificar la transición a "conjetura". Una persona a la que debería haber preguntado hace años era uno de mis profesores, Walter Feit, que se incorporó a la facultad de Yale alrededor de 1962 e introdujo la teoría de grupos finitos en el departamento durante los últimos años de la carrera de Ore. El propio Ore nunca se ocupó demasiado de los grupos simples finitos y en ese periodo se concentró en la teoría de grafos. Su comentario especulativo no es nada sólido, y no menciona otros grupos simples (como los grupos de Mathieu o los grupos clásicos finitos) conocidos en aquella época. A falta de pruebas, me inclino más que Igor a no emitir un juicio. La bibliografía sugiere una decisión bastante casual por parte de otras personas de referirse a la "conjetura de Ore". Afortunadamente para su reputación, al final resultó ser cierta, pero ni él (ni otros) pudieron preverlo en torno a 1950.
La otra razón por la que planteo esta pregunta es para subrayar que todavía no existe una clasificación conjetural de los grupos finitos no abelianos que constan de conmutadores y los que no. Todo lo que se sabe hasta ahora equivale al estudio de grupos individuales. En particular, ¿por qué la simplicidad contribuye a una respuesta positiva?
