He aquí una perspectiva que puede ayudar a situar las clases características en un marco más general. Me gusta pensar que hay dos niveles en la teoría. Uno es geométrico y el otro consiste en extraer información sobre la geometría mediante invariantes algebraicos. Tened paciencia conmigo si esto suena demasiado elemental y obvio al principio.
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El lado geométrico : Tenemos alguna clase de objetos de tipo haz que admiten una teoría de espacios clasificadores. Esto nos permite intercambiar haces sobre $X$ para mapas de $X$ en un espacio fijo, que llamaré $B$ por el momento. Paquetes equivalentes sobre $X$ dan mapas equivalentes a $B$ .
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El lado algebraico : Estudiamos mapas de $X$ a $B$ observando su efecto en algún tipo de teoría cohomológica. La cuestión es que empujamos el problema de estudiar mapas $X \to B$ a una categoría algebraica en la que tenemos más esperanzas de extraer información.
El paso de lo geométrico a lo algebraico desecha ciertamente cierta información; es el precio de pasar a un entorno más computable. Pero en las circunstancias adecuadas, la información deseada puede seguir estando disponible.
Ahora bien, un marco general para esto podría ser el siguiente. Los paquetes en abstracto son objetos que son locales sobre la base y que pueden pegarse entre sí. Esto es precisamente lo que las pilas pretenden describir. Así que piense en los paquetes simplemente como objetos que se clasifican por mapas de $X$ a alguna pila. Esto puede tener sentido en cualquier categoría en la que se tenga una noción de coberturas (una topología de Grothendieck), así que aquí no tenemos que ceñirnos sólo a los espacios topológicos ordinarios. Si sabes hablar de coberturas de complejos de cadenas, probablemente puedas hacer una versión a nivel de cadena. Pero más concretamente, también podríamos hablar de principales $G$ -paquetes para todo tipo de grupos $G$ . O podríamos hablar de haces de fibras con fibras de algún tipo concreto (en mi propio trabajo, los haces superficiales aparecen bastante a menudo).
Por cierto, si estás trabajando con espacios y quieres volver a la configuración habitual de clasificar espacios como grassmanianos y $BO$ o $BU$ entonces hay una manera de llegar desde una pila clasificadora. Tomemos su tipo homotópico; es decir, si $B$ es una pila, entonces elige un espacio $U$ y una cubierta $U \to B$ a continuación, formar los pullbacks iterados $U\times_B \cdots \times_B U$ que dan un espacio simplicial - la realización de este espacio simplicial será el espacio clasificador homotópico-teórico).
Ahora, tenemos una clase de objetos bundle clasificados por una pila $B$ . Para tener una teoría "útil" de las clases características necesitamos una teoría cohomológica en esta categoría para la cual
- Podemos calcular suficiente de la cohomología de $B$ y el mapa inducido por $X \to B$ .
- Se conserva suficiente información a nivel de cohomología para decirnos cosas que queremos saber sobre los morfismos $X \to B$ .
Es todo un arte elegir una teoría cohomológica que ayude a resolver el problema en cuestión.
Sólo quiero señalar que si usted está trabajando con haces vectoriales, entonces usted no necesita pensar en las clases características sólo como vivir en clases de cohomología singulares. Un haz vectorial representa una clase de K-teoría, y se puede pensar en esa clase como el Clase característica K-teórica del haz.
Adenda: Sólo para decir algo acerca de por qué trabajamos con cosas como $BO$ en lugar de $BO(n)$ Permítanme señalar que se trata de poner las cosas en el mismo sitio para poder compararlas. Los haces vectoriales reales de rango n tienen mapas clasificatorios $BO(n)$ y si desea comparar un mapa con $BO(n)$ con un mapa a $BO(m)$ entonces lo natural es asignar ambos a $BO(n+m)$ . Y luego, ¿por qué no llegar hasta $BO(\infty)=BO$ ? Se trata simplemente de no tener que comparar manzanas con naranjas.
