En el libro de texto dice "Si $R$ es un dominio ideal principal y $r$ es un elt de $R$ entonces el anillo cociente $R/(r)$ es un módulo R cíclico.
No sé por qué $R/(r)$ es cíclico.
Gracias de antemano.
Respuesta
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Marktmeister
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Sólo estoy ampliando el comentario de Berci.
Quizá estés confundiendo dos nociones diferentes de ser cíclico:
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A grupo cíclico es un grupo $G$ tal que existe $g \in G$ con $G = \langle g \rangle$ es decir, todos los elementos de $G$ son de la forma $g^m$ para $m \in \mathbb Z$ .
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A cíclico $R$ -módulo (para un anillo unital conmutativo $R$ ) es un $R$ -módulo $M$ tal que existe un $m \in M$ con $M = \langle m \rangle_R$ es decir, $M$ es generado por $m$ como $R$ -módulo. Por definición, $\langle m \rangle_R = \{rm \ | \ r \in R\}$ .
Aquí, obviamente, estamos hablando de la noción de un cíclico $R$ -módulo. Ahora, como se señala en los comentarios, $R/(r)$ es generado por $1 + (r)$ como $R$ -módulo. En este caso, no es necesario utilizar ese $R$ es un dominio ideal principal (y es difícil adivinar por qué requieres esto, porque no proporcionas mucho contexto).
