Podría alguien muestran un ejemplo de dos espacios de $X$ $Y$ que no son de la misma homotopy tipo, pero sin embargo $\pi_q(X)=\pi_q(Y)$ por cada $q$? Hay un ejemplo en el CW complejo o suave categoría?
Respuestas
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Hay dichos espacios, por ejemplo $X = S^2 \times \mathbb{R}P^3$, $Y = S^3 \times \mathbb{R}P^2.$ (Estos son a la vez suave y CW-complejos.)
Whitehead del Teorema dice que para CW-complejos, si un mapa de $f : X \to Y$ induce un isomorfismo en todos los homotopy grupos, entonces es un homotopy de equivalencia. Pero, como el ejemplo de arriba muestra, necesita el mapa. Un mapa que se llama una débil homotopy de equivalencia.
(Whitehead del Teorema no es cierto para los espacios de wilder de CW-complejos. El círculo de Varsovia tiene todas sus homotopy grupos trivial, pero el único mapa a un punto no es un homotopy de equivalencia.)
csmba
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2440
Todos estos ejemplos implican un poco de ingenio, así que pensé que había una forma más sencilla y directa para la construcción de contraejemplos. Si $X$ es cualquier espacio, podemos construir un espacio de $X' = K(\pi_0 X, 0) \times K(\pi_1 X, 1) \times K(\pi_2 X, 2) \times \dots$ que tiene el mismo homotopy grupos como $X$, pero que no suele ser débilmente equivalente a $X$. Casi cualquier invariante de otros espacios distintos de la homotopy grupos se distinguen de ellos. Por ejemplo, si $X = S^2$,$H_3(X) = 0$, pero $X'$ contiene $K(\pi_3 S^2, 3) = K(\mathbb{Z}, 3)$ como se retractan, por lo $H_3(X')$ contiene $H_3(K(\mathbb{Z}, 3)) = \mathbb{Z}$ como se retracte y no puede ser $0$.
Por supuesto, esto no producir geométricamente agradable espacios como el suave colectores.
Sam
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2005
$S^3 \times \mathbb{R}P^2$ $\mathbb{R}P^3 \times S^2$ son a la vez suave de 5 colectores con el grupo fundamental de la $\mathbb{Z}/2$ y la universalización de la cobertura $S^3 \times S^2$, por lo que su homotopy grupos son todos de la misma. Por otro lado, sólo la última es orientable desde $\mathbb{R}P^3$ es orientable, sino $\mathbb{R}P^2$ no es, por tanto tienen diferentes valores en $H^5$ y por lo tanto no puede ser homotopy equivalente. (Creo que este ejemplo es en Hatcher en alguna parte.)
Patrick McElhaney
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22093
A lo largo de la misma línea: puede producir ejemplos que involucran simplemente conectado finito de CW-complejos, mediante el uso de $S^1$ acciones: $\mathbb{C}P^m \times S^{2n+1}$ $S^{2m+1}\times \mathbb{C}P^n$ tienen el mismo homotopy grupos, por ejemplo.
Es fácil de producir ejemplos con arbitrariamente alta conectividad: tomar la homotopy fibra $X$ de los no-trivial mapa de $K(A,m)\to K(B,n+1)$,$n>m$. A continuación, $X$ $Y=K(A,m) \times K(B,n)$ tienen el mismo homotopy grupos, pero no son homotopy equivalente.
He aquí una nueva pregunta: para los que recibieron $k$, se puede encontrar un par de $k$-conectado finito de CW-complejos que tienen el mismo homotopy grupos, pero no son homotopy equivalente?
Gromer
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Es fácil construir infinidad de ejemplos de este tipo utilizando finito $T_0$ espacios topológicos. Estos son equivalentes a la forma natural finito posets (marque este artículo de la wikipedia). Con un poset $P$ podemos asociar un resumen simplicial complejo de $K(P)$ cuyo simplices son las cadenas de $P$. Resulta que la geometría de la realización de la $K(P)$ $P$ son débilmente homotopy equivalente (hay un mapa continuo $|K(P)| \to P$ inducción de isomorphisms en homotopy grupos). Sin embargo, estos espacios no son homotopy equivalente (a menos que ambos son homotopy equivalente a un espacio discreto).
Por otra parte, ejemplos de débilmente homotopy equivalente finito de espacios que no son homotopy equivalente también son fáciles de dar.
Las siguientes notas por J. P. Mayo son una buena introducción a este tema: http://www.math.uchicago.edu/~mayo/MISC/FiniteSpaces.pdf , http://www.math.uchicago.edu/~mayo/MISC/SimpCxes.pdf
