¿Y las representaciones (1, 1/2) o (3/2, 1/2) del grupo de Lorentz?

Question

Todas las representaciones complejas irreducibles de dimensión finita del grupo de Lorentz pueden especificarse mediante dos semienteros positivos, es decir. $(j_1, j_2)$ . En $(0,0)$ es la representación escalar trivial, $(\tfrac{1}{2}, 0)$ es la representación del espinor de Weyl de mano izquierda, $(0, \tfrac{1}{2})$ es la representación del espinor de Weyl diestro, y $(\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2})$ es la representación vectorial (compleja). La mayoría de los libros de texto de QFT hablan de estas representaciones. Y luego se detienen. ¿Qué pasa con el resto de opciones, como $(0,1)$ , $(1, \tfrac{1}{2})$ , $(\tfrac{3}{2}, 1)$ etc. ¿Tienen alguna relevancia? ¿Se ha especulado alguna vez con la existencia de tales campos?

Esto también nos lleva a una pregunta más importante. Ciertamente, muchas $(j_1, j_2)$ representaciones tendrán el mismo $SO(3)$ girar. Me parece que debería haber muchas maneras interesantes de hacer un "giro $\tfrac{3}{2}$ ", por ejemplo, cada una de las cuales se comporta de forma diferente bajo paridad.

Answer 1

En $(0,1)$ rep es un dos-tensor antisimétrico que es autodual o antiautodual. La intensidad de campo $F_{\mu \nu}$ en la teoría de Maxwell es una suma de ambas reps $(1,0) + (0,1)$ . Del mismo modo, las (in)famosas transformadas de fermiones de Rarita-Schwinger en la $(1,1/2) + (1/2,1)$ representación.

En general, encontrarás teoremas según los cuales sólo aparece un número finito de representaciones del grupo de Lorentz, porque los campos de espín superior se comportan de forma patológica. Esto no es del todo cierto, en el sentido de que partiendo de un bosón $\phi$ un fermión de Dirac $\Psi$ y un campo gauge $A_\mu$ puedes construir fácilmente operadores compuestos que se transformen en cualquier representación que desees. Sin embargo, esos operadores compuestos no tienen su propia dinámica: su comportamiento está completamente gobernado por los Lagrangianos de los campos fundamentales a partir de los que se construyen.