Descomposición del espacio cociente

Question

Sea $V$ sea un espacio vectorial (o módulo) con descomposición $V= V_1 \oplus V_2$ . Y que $W \subset V$ sea un subespacio con descomposición $W= W_1 \oplus W_2$ tal que $W_1 \subset V_1$ et $W_2 \subset V_2$ . demostrar que

$$V/W = V_1/W_1 \oplus V_2/W_2$$

Answer 1

Sea $q_1\colon V\to V_1$ et $q_2\colon V\to V_2$ son las proyecciones sobre los sumandos directos; sea $p_1\colon V_1\to V_1/W_1$ et $p_2\colon V_2\to V_2/W_2$ sean los mapas canónicos. Consideremos el mapa lineal $$ f\colon V\to V_1/W_1\oplus V_2/W_2, \qquad f(v)=(p_1(q_1(v)),p_2(q_2(v)))=(q_1(v)+W_1,q_2(v)+W_2) $$ El núcleo de $f$ es el conjunto de vectores $v\in V$ tal que $q_1(v)\in W_1$ et $q_2(v)\in W_2$ . Desde $v=q_1(v)+q_2(v)$ por definición, vemos que $\ker f=W_1+W_2=W$ .

Answer 2

Aquí vemos $V_i/W_i$ como subespacio de $V/W$ a través del monomorfismo $V_i/W_i \to V/W$ que mapea $v_i + W_i \mapsto v_i + W$ . Nótese que este mapa es inyectivo ya que el núcleo de $V_i \to V/W$ es precisamente $V_i \cap W = W_i$ .

Cualquier $v + W \in V/W$ se descompone como $v_1 + v_2 + W$ con $v_i \in V_i$ . Pero, con la identificación anterior, tenemos

$$\begin{align*}v + W &= v_1 + v_2 + W \\ &= (v_1 + W) + (v_2 + W) \\ &= (v_1 + W_1) + (v_2 + W_2). \end{align*}$$

Además, supongamos que tenemos $v+W \in V_1/W_1 \cap V_2/W_2$ . Entonces, como elemento de $V/W$ Este $v+W$ puede escribirse como $v+W = v_1 + W = v_2 + W$ con $v_i \in V_i$ . Así $v_1 - v_2 \in W = W_1 \oplus W_2$ por lo que debemos tener $v_i \in W_i$ . Pero esto significa que $v \in W$ es decir, $v+W$ es el vector trivial en $V/W$ .