$\frac{(mn)!}{m!(n!)^m}\in\mathbb N^*$ ?

Question

Un alumno aplicado me da (¡no es la primera vez!) un problema que resolver; es ahora:

Demostrar o refutar $$(m,n)\in \mathbb N^*\Rightarrow \frac{(mn)!}{m!(n!)^m}\in\mathbb N^*$$

Answer 1

Tenemos $$\eqalign{\frac{((m+1)n)!}{(m+1)!(n!)^{m+1}} &=\frac{(mn+n)\cdots(mn+1)}{(m+1)n!}\frac{(mn)!}{m!(n!)^m}\cr &=\frac{(mn+n-1)\cdots(mn+1)}{(n-1)!}\frac{(mn)!}{m!(n!)^m}\cr &=\binom{mn+n-1}{n-1}\frac{(mn)!}{m!(n!)^m}\ ,\cr}$$ observe que el primer factor es un número entero y utilice la inducción sobre $m$ .

Answer 2

¿Cuántas maneras hay de dividir $mn$ estudiantes distintos en $m$ grupos de $n$ estudiantes cada uno (los grupos no son distintos).