Representación del operador de proyección en términos de bases ortonormales

Question

La pregunta planteada es :
Sea $P: V \rightarrow V$ sea un operador de proyección, es decir $P^{2}=P .$ Si $V$ es de dimensión finita, demuéstrese entonces que $\operatorname{tr}(P)$ es la dimensión del subespacio sobre el que se proyecta.

La solución es:

• Sea $P$ sea un operador de proyección ortogonal a $M$ subespacio dimensional $V$

• Sea $b_{1}, \ldots, b_{M}$ sea una base ortonormal para $V .$ Entonces $$ \begin{aligned} P=\sum_{m=1}^{M} b_{m} b_{m}^{\prime} & \\ \qquad \begin{aligned} \operatorname{Trace}(P) &=\operatorname{Trace}\left(\sum_{m=1}^{M} b_{m} b_{m}^{\prime}\right) \\ &=\sum_{m=1}^{M} \operatorname{Trace}\left(b_{m} b_{m}^{\prime}\right)=\sum_{m=1}^{M} \operatorname{Trace}\left(b_{m}^{\prime} b_{m}\right) \\ &=\sum_{m=1}^{M} \operatorname{Trace}(1)=\sum_{m=1}^{M} 1=M \end{aligned} \end{aligned} $$

¿Puede alguien explicar el primer paso de la prueba, es decir, cómo se representa el operador de proyección como $P=\sum_{m=1}^{M} b_{m} b_{m}^{\prime}$ donde $b_{1}, \ldots, b_{M}$ sea una base ortonormal para $V .$

Answer 1

Si $P$ también se supone simétrico ( $P^T=P$ ), y $b_1,\dots,b_M$ es una base ortonormal de la imagen de $P$ entonces sí que se tiene $P=\sum_ib_ib_i^T=:B$ :

Tenga en cuenta que $P$ es simétrico, sus espacios eigénericos (es decir, el núcleo y el rango) son ortogonales.
Además, es fácil comprobar que si $v\in{\rm im}(P)={\rm span}(b_1,\dots,b_M)$ entonces $Bv=v$ y que si $v\perp{\rm im}(P)$ entonces $Bv=0$ y estas propiedades caracterizan $P$ .

No obstante, esta afirmación también es válida para las proyecciones generales:
Si $P^2=P$ todavía tenemos $V={\rm im}(P)\oplus\ker(P)$ aunque estos subespacios pueden no ser ortogonales entre sí en el caso general.
Elección de las bases $v_1,\dots,v_M$ en ${\rm im}(P)$ et $u_1,\dots,u_K$ en $\ker(P)$ encontramos que la matriz de $P$ en base $v_1,\dots,v_M,u_1,\dots,u_K$ es diagonal con $M$ entradas de $1$ et $K$ entradas de $0$ porque $Pv_i=v_i$ et $Pu_i=0$ .
En consecuencia, ${\rm tr}(P)=M$ .