La pregunta planteada es :
Sea $P: V \rightarrow V$ sea un operador de proyección, es decir $P^{2}=P .$ Si $V$ es de dimensión finita, demuéstrese entonces que $\operatorname{tr}(P)$ es la dimensión del subespacio sobre el que se proyecta.
La solución es:
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Sea $P$ sea un operador de proyección ortogonal a $M$ subespacio dimensional $V$
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Sea $b_{1}, \ldots, b_{M}$ sea una base ortonormal para $V .$ Entonces $$ \begin{aligned} P=\sum_{m=1}^{M} b_{m} b_{m}^{\prime} & \\ \qquad \begin{aligned} \operatorname{Trace}(P) &=\operatorname{Trace}\left(\sum_{m=1}^{M} b_{m} b_{m}^{\prime}\right) \\ &=\sum_{m=1}^{M} \operatorname{Trace}\left(b_{m} b_{m}^{\prime}\right)=\sum_{m=1}^{M} \operatorname{Trace}\left(b_{m}^{\prime} b_{m}\right) \\ &=\sum_{m=1}^{M} \operatorname{Trace}(1)=\sum_{m=1}^{M} 1=M \end{aligned} \end{aligned} $$
¿Puede alguien explicar el primer paso de la prueba, es decir, cómo se representa el operador de proyección como $P=\sum_{m=1}^{M} b_{m} b_{m}^{\prime}$ donde $b_{1}, \ldots, b_{M}$ sea una base ortonormal para $V .$