¿Cuál es el significado geométrico de la existencia de un punto fijo para el caso complejo

Question

Consideremos una función compleja $f$ definido en un conjunto $D$ . La función $f$ tiene un punto fijo si la ecuación $f(s)=s$ tienen una solución. En el caso real, la existencia de un punto fijo significa geométricamente que dos curvas se intersecan: la curva de $f$ y la línea $y=x$ .

Mi pregunta es:

(1) ¿Cuál es el significado geométrico de la existencia de un punto fijo para el caso complejo.

(1) ¿Cuál es el significado geométrico del hecho de que un punto dado $z$ no es un punto fijo para una función compleja dada $f$ .

Answer 1

Para una función $f:\Bbb C\to\Bbb C$ el significado geométrico de un punto fijo es algún lugar donde la gráfica de $f$ (que es una superficie) interseca el plano $x=y$ en $\Bbb C^2$ . Esto no es fácil de visualizar, ya que nuestra comprensión intuitiva del espacio es inherentemente una dimensión demasiado pequeña, pero a las matemáticas no les importa nuestra capacidad de imaginar.