Existencia de carácter irreductible s.t. $\chi(g) \neq 0, \chi(1) \neq 0 \text{ mod } |C(g)|$ para elementos en clase de conjugación de orden primo

Question

Dado un grupo finito $G$ y un representante no identitario $g$ en una clase de conjugación de orden primo $p$ Intento demostrar que algún carácter irreducible no trivial de $G$ debe tener $\chi(g) \neq 0$ et $\chi(1) \neq 0 \text{ mod } p$ .

La sugerencia consistía en demostrar que la inexistencia de tal carácter implicaría que $1/p$ es un número entero algebraico.

Hasta ahora, he utilizado el hecho de que $\chi(g) \cdot \frac{p}{\chi(1)} \in \overline{\mathbb{Z}}$ para cualquier carácter. Con un poco de manipulación (y el cierre de enteros algebraicos sobre sumas y productos), puedo conseguir esto en una forma que me permite sumar sobre todos los caracteres irreducibles $$p \sum \chi_i(g)^2 \in \overline{\mathbb{Z}}.$$ Mi esperanza era utilizar entonces las relaciones de ortogonalidad en las columnas de una tabla de caracteres, pero al hacerlo queda un molesto factor del orden del grupo, es decir. $|G|/p \in \overline{\mathbb{Z}}$ en lugar de $1/p$ .

¿Estoy haciendo las cosas mal? ¿Hay algo más que esté pasando por alto?

Answer 1

Las relaciones de ortogonalidad de columnas para tablas de caracteres dan que $\sum_i \chi_i(g) \overline{\chi_i(1)} = 0$ . Pero si cada carácter no trivial tiene o bien $\chi_i(g) = 0$ o $\chi_i(1) \equiv 0 \text{ mod } p$ entonces tenemos que $$\sum_{\text{nontrivial characters}} \chi_i(g) \overline{\chi_i(1)} \equiv 0 \text{ mod } p,$$ y luego $\sum_i \chi_i(g) \overline{\chi_i(1)} \equiv 1 \text{ mod } p$ debido al carácter trivial - una clara contradicción.

Answer 2

Ya casi estabas: deja que $p$ sea un primo, y supongamos que $g \neq 1$ et $p \mid \chi(1)$ o $\chi(g)=0$ para cada $\chi \in Irr(G)$ . (Esto implica que $G$ hace no tienen caracteres lineales no triviales). Ponga $Irr(G)^{\#}=Irr(G)-\{1_G\}$ . La ortogonalidad de columna nos dice $$\sum_{\chi \in Irr(G)}\chi(g)\chi(1)=0$$ ya que $g$ no es conjugado con $1$ . Pero $$0=\sum_{\chi \in Irr(G)}\chi(g)\chi(1)=1+\sum_{\chi \in Irr(G)^{\#}}\chi(g)\chi(1)=\\1+\sum_{\chi \in Irr(G)^{\#}, \chi(g)=0}\chi(g)\chi(1)+\sum_{\chi \in Irr(G)^{\#}, \chi(g) \neq 0}\chi(g)\chi(1)\\=1+p\sum_{\chi \in Irr(G)^{\#}, \chi(g) \neq 0}\chi(g)\frac{\chi(1)}{p}.$$ Por lo tanto $$\frac{-1}{p}=\sum_{\chi \in Irr(G)^{\#}, \chi(g) \neq 0}\chi(g)\frac{\chi(1)}{p}.$$ Ahora el lado derecho es un elemento de $\mathbb{A}$ los enteros algebraicos, y el lado izquierdo es un racional. Dado que $\mathbb{Q} \cap \mathbb{A}=\mathbb{Z}$ ahora tenemos una contradicción.

Observación Así pues, hemos demostrado que para cualquier primo $p$ debe haber un carácter no trivial $\chi \in Irr(G)$ et $g \neq 1$ tal que $p \nmid \chi(1)$ et $\chi(g) \neq0$ . Esta afirmación es trivialmente cierta cuando $G$ tiene caracteres lineales no triviales. Pero se vuelve interesante cuando $G=G'$ Eso es, $G$ es perfecto. La condición anterior sobre el tamaño de la clase de conjugación no es necesaria. En el caso $g$ arriba, $|Cl_G(g)|=p$ entonces $|\chi(g)|=\chi(1)$ . Esto se deduce de un teorema de Burnside (véase por ejemplo el teorema (3.8), en M.I. Isaacs, Character Theory of Finite Groups)